Sommersemester 2015 TU Dortmund Fakult¨ at f¨ ur Mathematik Prof. Dr. M. Voit Dipl.-Wirt.Math. D. Kobe Dipl. Math. S. Glaser Stochastik I Blatt 2 Abgabe der Hausaufgaben: Mittwoch, 15.04.2015, 10.15 Uhr, im zugeh¨origen Briefkasten Ihrer ¨ Ubungsgruppe. Aufgabe 1 (4 Punkte) F¨ ur ein Foto sollen 3n Personen (n ∈ N) unterschiedlicher Gr¨oße zur Kamera gerichtet in drei Reihen der L¨ange n ∈ N aufgestellt werden (siehe Skizze). a) Wie viele m¨ogliche Anordnungen gibt es, wenn die Person vorne jeweils kleiner sein soll als die hinter ihr stehende Person? b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei einer zuf¨alligen Anordnung die Person vorne jeweils kleiner ist als die hinter ihr stehende Person? Aufgabe 2 (4 Punkte) In manchen Anwendungen m¨ochte man testen, ob eine Bitfolge ω = (x1 , x2 , . . . , xn ) ∈ {0, 1}n ’rein zuf¨allig’ zustande kam oder nicht. Eine Kenngr¨oße, mit der man quantifizieren kann, ob die Nullen und Einsen sehr gleichm¨aßig verteilt sind oder eher in wenigen Gruppen (runs) vorkommen, ist die Zahl V (ω) := #{i ∈ {2, . . . , n}|xi−1 6= xi }. Beispielsweise ist V ((1, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 0)) = 1 und V ((1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0)) = 7. Sei P die Gleichverteilung auf {0, 1}n . Zeigen Sie 1−n n − 1 P [V = k] = 2 . k Aufgabe 3 (5 Punkte) a) Zeigen Sie mit vollst¨andiger Induktion: Ist (Ω, A, P ) ein Wahrscheinlichkeitsraum und A1 , . . . , An ∈ A, so gilt ! n n [ X X P Ai ≥ P (Ai ) − P (Ai ∩ Aj ). i=1 i=1 1≤i<j≤n b) In jeder Packung Cornflakes befindet sich zuf¨allig“ jeweils ein Abziehbild ” von n verschiedenen Fußballspielern, darunter 11 Nationalspieler. Dabei treten die Abziehbilder der verschiedenen Spieler jeweils mit gleicher Wahrscheinlichkeit auf. Wer die Bilder aller 11 Nationalspieler gesammelt hat, gewinnt eine Karte zum Spiel von Borussia Dortmund. Um die Karte auf jeden Fall zu gewinnen, kauft Karl Musterstudent 3n Packungen. Zeigen Sie, dass die Wahrscheinlichkeit, tats¨achlich die gew¨ unschten Bilder zu erhalten, im Intervall 1 2 1 [1 − 11(1 − )3n , 1 − 11(1 − )3n + 55(1 − )3n ] n n n liegt. Welchen Wert haben diese Schranken ungef¨ahr f¨ ur große n? Aufgabe 4 (4 Punkte) Eine Fluggesellschaft hat festgestellt, dass Passagiere zu 1% Wahrscheinlichkeit nicht zu einem Flug antreten (wir nehmen an, dass die Passagiere sich unabh¨angig voneinander entscheiden, zu einem Flug anzutreten oder nicht). Bei einem bestimmten Flug verf¨ ugt das Flugzeug u ¨ber 450 Sitzpl¨atze. a) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit daf¨ ur, dass wenn alle Tickets f¨ ur diesen Flug verkauft wurden, i) genau drei und ii) maximal drei Passagiere nicht zum Flug antreten. b) Die Fluggesellschaft entschließt sich, insgesamt 453 Tickets zum Verkauf anzubieten (die alle gekauft werden). Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass mehr Passagiere zum Flug antreten als Sitzpl¨atze zur Verf¨ ugung stehen? Aufgabe 5 (3 Punkte) In Ihrem Schreibtisch befinden sich 7 Schubladen. Wie viele M¨oglichkeiten gibt es, 10 baugleiche Kugelschreiber auf die 7 Schubladen zu verteilen, wenn man sich nur daf¨ ur interessiert, wie viele Kugelschreiber sich jeweils in den Schubladen befinden? ¨ Die neuen Ubungsbl atter sowie weitere Information zur Veranstaltung ¨ finden sich auf unserer Homepage: www.mathematik.uni-dortmund.de/lsiv/2015Sommer/StochI/index.htm