¨ Ubungen zu Statistik ¨ r Dienstag, 3. Ma ¨ rz 2015 fu 9) Von 40 Werkst¨ ucken werden 8 einer genauen Endkontrolle unterzogen und danach gemeinsam mit den anderen (ungepr¨ uften) Werkst¨ ucken ausgeliefert. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass sich unter 10 zuf¨allig ausgew¨ahlten Werkst¨ ucken genau 2 befinden, die der Endkontrolle unterworfen wurden? 10) Von 15 M¨adchen einer Schulklasse haben 3 blaue Augen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass von 5 zuf¨allig ausgew¨ahlten M¨adchen jener Klasse genau 2 blaue Augen haben? 11) Eine Urne enth¨alt 12 rote und 6 schwarze Kugeln. Eine Kugel werde zuf¨allig gezogen. Ist sie rot, wird sie in die Urne zur¨ uckgelegt. Ist sie hingegen schwarz, wird sie mit einer weiteren schwarzen Kugel in die Urne zur¨ uckgelegt. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass eine zweite, zuf¨allig aus der Urne gezogene Kugel (a) rot, (b) schwarz ist. 12) F¨ ur einen Test zur Krebsdiagnose m¨ogen folgende Angaben bekannt sein: Hat eine Person Krebs, dann ist der Test mit einer Wahrscheinlichkeit 0,95 positiv. Hat die Person keinen Krebs, dann ist der Test mit einer Wahrscheinlichkeit 0,92 negativ. Bei einer Versuchsperson ist der Test positiv. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Person wirklich Krebs hat, wenn in der Gesamtbev¨olkerung 0,5 % der Personen dieser Altersgruppe an Krebs erkrankt sind? 13) Eine Stadt wird von drei Fabriken mit Halogenlampen beliefert. Fabrik A liefert 30 % des Bedarfs, davon 97 % fehlerfrei, Fabrik B liefert 50 %, davon 99 % fehlerfrei, und Fabrik C liefert 20 %, davon 78 % fehlerfrei. Eine zuf¨allig ausgew¨ahlte Halogenlampe stellt sich als fehlerhaft heraus. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass sie aus Fabrik B stammt? 14) Die Zufallsvariable X besitze die Wahrscheinlichkeitsfunktion ( pX (n) = 1 24 − 0 1 c f¨ ur 1 ≤ n ≤ 24c, f¨ ur n > 24c, n ∈ N. Bestimmen Sie die Konstante c und die Verteilungsfunktion FX (x). 15) Gegeben sei die Funktion pX (n) = 1 (n − 2)(n − 1) f¨ ur n = 3, 4, 5, . . . Ist pX (n) eine Wahrscheinlichkeitsfunktion der Zufallsvariablen X? Wenn ja, berechnen Sie P (X ≥ m). 16) Die Zufallsvariable X besitze die Wahrscheinlichkeitsfunktion  1   8   3 pX (n) =  4 1    8 0 f¨ ur f¨ ur f¨ ur f¨ ur n = 0, n = 1, n = 2, alle u ¨brigen n ∈ N. Berechnen Sie den Erwartungswert E(X) und die Varianz V (X). 2