2007年7月18日 ２．井戸型ポテンシャル Square well potential ２−３ 球形井戸型ポテンシャル Spherical square potential 半径 r0 の球内に制限される井戸型ポテンシャルのハミルトニアンは h 2 ∂2 ∂2 ∂2 ˆ H =− + + + V ( r) 2m ∂x 2 ∂y 2 ∂z 2 € r = x 2 + y 2 + z2 0 [0 ≤ r ≤ r0 ] V r = ( ) € [r0 < r] ∞ € と表される。エネルギー固有値は € E n,l = (2.3.1) (2.3.2) 2 h 2ul,n 2mr02 波動関数は ψ nlm (r,θ,ϕ ) = Rnl ( r )Ylm (θ,ϕ ) (2.3.3) ru € Rnl ( r) = jl nl (2.3.4) r0 € である。ただし， unl は球ベッセル関数 j l ( u) の n 番目の零点とする。 Ylm (θ,ϕ ) は球面調 和関数であり， € (2.3.5) € Ylm (θ,ϕ ) = Θ lm (θ )Φ m (ϕ ) € € € € 2l + 1 ( l − m )! m Θ lm (θ ) = Pl (cosθ ) (2.3.6) 2 ( l + m )! € 1 imϕ Φ m (ϕ ) = e (2.3.7) 2π で表される。球ベッセル関数は三角関数を使って € sin u j 0 ( u) = , u € sin u − u cos u j1( u) = , u2 3 − u 2 ) sin u − 3ucos u ( € j 2 ( u) = ,L u3 € などと表される。 € € −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− （付録２−３ 球形井戸型ポテンシャル） 半径 r0 の球形井戸型ポテンシャルのハミルトニアンは h 2 ∂2 ∂2 ∂2 ˆ H =− + + + V ( r) 2m ∂x 2 ∂y 2 ∂z 2 € r = x 2 + y 2 + z2 0 [0 ≤ r ≤ r0 ] V r = ( ) € [r0 < r] ∞ € と表される。シュレーディンガー方程式は Hˆ ψ ( x, y,z ) = Eψ ( x, y,z) € € € € € € € (A2.3.1) (A2.3.2) h 2 ∂2 ∂2 ∂2 ⇔ − 2 + 2 + 2 + V (r )ψ (r,θ,ϕ ) = Eψ ( r,θ,ϕ ) ∂y ∂z 2m ∂x 2 2 h ∂ 2 ∂ 1 ∂ ∂ 1 ∂2 + + sin θ + + V ( r) ψ (r,θ,ϕ ) = E ψ (r,θ,ϕ ) ⇔ − 2 2 2 2 2 r ∂r r sin θ ∂θ ∂θ r sin θ ∂ϕ 2me ∂r 2 2 € ∂ ψ 2 ∂ψ 1 ∂ ∂ψ 1 ∂ ψ 2m + 2 + ⇔ 2 + sin θ + 2 2 [ E − V ( r)]ψ = 0 (A2.3.3) ∂r r ∂r r sin θ ∂θ ∂θ r sin θ ∂ϕ 2 h 2 €€ € € となる。 € ψ (r,θ,ϕ ) = R(r )Θ(θ )Φ(ϕ ) (A2.3.4) €€ €とおき，式 (A2.3.3) に代入すると ∂2 R ( r ) ∂Θ(θ ) R(r )Θ(θ ) ∂2Φ(ϕ ) 2 ∂R( r) R( r)Φ(ϕ ) ∂ Θ(θ )Φ(ϕ ) + Θ θ Φ ϕ + sin θ ( ) ( ) + ∂r 2 r ∂r r 2 sin θ ∂θ ∂θ r 2 sin 2 θ ∂ϕ 2 2m + 2 [ E − V (r )]R(r )Θ(θ )Φ(ϕ ) = 0 h 両辺を R(r )Θ(θ )Φ(ϕ ) でわり， r 2 をかけると 2 ∂2Φ(ϕ ) ∂Θ(θ ) 1€€ ∂ r 2 ∂ R(r ) 2r ∂R(r ) 1 − sin θ + + R€ ∂θ Φ(ϕ ) sin 2 θ ∂ϕ 2 ( r) ∂r 2 R( r) ∂r Θ(θ ) sin θ ∂θ € € 2mr 2 + 2 [ E − V ( r )] = 0 h € さらに， € € € 2 ∂2Φ(ϕ ) ∂R r ∂Θ(θ ) 1 ∂ 2 € 1 ∂ 2mr 1 ( ) r + 2 [ E − V ( r )] = − sin θ − € R( r) ∂r h ∂r Θ(θ ) sin θ ∂θ ∂θ Φ(ϕ ) sin 2 θ ∂ϕ 2 と書き直す。 この関係が任意の r , θ , ϕ € に対して成り立つためには，両辺が定数でなければならな € € € い。定数 λ を導入し， € 1 d 2 ∂R( r) 2mr 2 € € €r + 2 [ E − V (r )] = λ R(r ) dr ∂r h € ∂Θ(θ ) ∂2Φ(ϕ ) 1 ∂ 1 sin θ = −λ + Θ(θ ) sin θ ∂θ ∂θ Φ(ϕ ) sin 2 θ ∂ϕ 2 とする。 € 二つ目の式の両辺に sin2 θ をかけると， 2 ∂Θ(θ ) sin θ ∂ 1 ∂ Φ(ϕ ) = − λ sin 2 θ sin θ + 2 Θ(θ ) ∂θ ∂θ Φ(ϕ ) ∂ϕ € 移項して 2 sin θ ∂ € ∂Θ(θ ) 1 ∂ Φ(ϕ ) € €2€ sin θ λ sin θ − = + € ∂θ € Φ(ϕ ) ∂ϕ 2 Θ(θ ) ∂θ となる。 この関係が任意の に対して成り立つためには，両辺が定数でなければならない。 €€ θ , ϕ€€ € € 定数 m を導入し， dΘ(θ ) sin θ d 2 2 θ €sin + λ sin θ = m € Θ(θ ) dθ dθ € 2 1 d Φ(ϕ ) − = m2 2 Φ(ϕ ) dϕ€€ €€ λ = l l + 1 とする。さらに ( ) として， € dΘ(θ ) sin θ €d€ 2 2 € sin θ + l( l + 1) sin θ = m € Θ(θ ) dθ dθ 2 € 1 d Φ(ϕ ) = − m2 2 Φ(ϕ ) dϕ € €€ € 変形すると € dΘ(θ ) 1 €€ d € m2 sin θ l l + 1 − + ) ( Θ(θ ) = 0 € sin θ dθ dθ sin2 θ d 2Φ(ϕ ) = − m 2 Φ(ϕ ) dϕ 2 € € €€ となる。 € € 結局，解くべき方程式は， €€€ € € 1 d 2 dR( r) 2mr 2 r + 2 [ E − V ( r)] = l( l + 1) h R( r) dr dr dΘ(θ ) 1 d m2 sin θ + l(l + 1) − 2 Θ(θ ) = 0 sin θ dθ dθ € sin θ € 2 € d Φ(ϕ ) € = − m 2 Φ(ϕ ) dϕ 2 € € €€ € である。 € €€€ € € ここで動径部分に関する微分方程式 1 d 2 dR( r) 2mr 2 r + 2 [ E − V ( r)] = l( l + 1) h R( r) dr dr 2 2 r d R( r) 2r dR(r ) 2mr 2 + 2 [ E − V ( r)] = l( l + 1) + ⇔ R( r) dr 2 R( r) dr € h € l( l + 1) d 2 R(r€) 2 dR(r ) 2m € + 2 [ E − V ( r )] − + ⇔ R( r ) = 0 2 2 dr r dr h € €€ r € € € € €€ € の解を求める。 0 ≤ r ≤ r0 の範囲では l(l + 1) d 2 R(r ) 2 dR(r ) 2m + E − + R( r) = 0 2 dr 2 r dr r2 h となるが， € € E= h2k 2 2m€ €€ h 2mE ρ r ⇔r = h 2mE R( r ) = S ( ρ ) ρ = kr = € € € とすれば， € d 2 S (ρ ) 2€dS (ρ ) l( l + 1) + +1− S (ρ ) = 0 dρ 2 ρ dρ ρ2 と変形できる。この微分方程式の解の基本系は，第１種球ベッセル関数 π €€ J l +1/2 (ρ ) € 2 ρ € および第２種球ベッセル関数 j l ( ρ) = € n l ( ρ ) = (−1) l +1 j−l−1 (ρ ) = π π N l +1/2 (ρ ) = J− l +1/2 ( ρ) 2ρ 2ρ で与えられる。 3 − z 2 ) sin z − 3z cos z ( sin z sin z − z cos z j 0 (z) = , j1( z) = , j 2 (z) = ,L € z3 z z2 3 − z 2 ) cos z + 3z sin z ( cos z cos z + z sin z n z = − n 0 ( z) = − , n1( z) = − , 2( ) ,L 3 z z2 €z € € などから，特異性を持たず境界で連続な系列は，第１種球ベッセル関数に限定される。 € 結局，動径部分の波動関数は € R( r) =€j l ( ρ) = j l ( kr) € € となる。 r = r0 で R(r ) = j l (kr) = 0 となるには， ul,n を球ベッセル関数 j l ( u) の n 番目の零 点であるとして， kr0 = ul ,n であればよい。 € h2k 2 E= € € € €2m € から， € € El = 2 h 2 ul,n 2mr02 となる。 なお，第１種球ベッセル関数のベキ級数展開は € ν ν (−1) (n + ν )! ρ 2ν = 2 n ∞ (−1) (n + ν )! ρ n + 2ν j n (ρ ) = (2 ρ) ∑ ∑ ν = 0 ν !(2n + 2ν + 1)! ν = 0 ν !(2n + 2ν + 1)! n ∞ で与えられる。 € €
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