La structure de groupe
Applications directes du cours
1) À quels groupes simples sont isomorphes les groupes des automorphismes de Z/3Z, Z/4Z et S3 ?
2) Soit E un ensemble et •, � les deux lois internes
�
A • B = (A ∪ (E \ B)) ∩ (B ∪ (E \ A))
∀A, B ∈ P(E),
A � B = (A ∪ B) \ (A ∩ B)
.
Montrer que (P(E), •) et (P(E), �) sont des groupes abéliens isomorphes.
3) Montrer que tout élément de Sn se décompose de façon unique, à l’ordre près, en produit de cycles dont les
supports sont deux à deux disjoints.
Décomposer les permutations :
�
1 2 3 4 5 6
8 1 3 6 5 7
Calculer s100 avec s =
�
1
3
2
5
3
4
�
7
4
8
2
4
1
5
7
�
1
6
2
5
3
4
4
3
5
2
6 7
10 2
8
6
9
9
�
10
.
8
6
1
�
�
1
5
2
8
3
9
4
2
5
1
6
4
7
3
8
6
9
7
�
4) Soient f : X → Y une bijection. Montrer que les groupes de permutations SX et SY sont isomorphes.
5) Trouver tous les morphismes de groupe de (Z/nZ, +) dans (C∗ , ×).
6) Soit G un sous-groupe fini de (C∗ , ·) de cardinal n. Montrer que G est l’ensemble Un des racines n-ièmes de
l’unité.
7) Donner un exemple de groupe de cardinal infini dont tous les éléments sont d’ordre fini.
Exercices CCP-Mines-Centrale
8) Soient G et H deux groupes finis ; le produit G × H est muni de sa structure de groupe produit. Soient x ∈ G
et y ∈ H, d’ordres respectifs n et m. Montrer que (x, y) est d’ordre n ∨ m. En déduire une condition nécessaire et
suffisante pour que G × H soit cyclique.
9) Soit (G, ·) un groupe et f un endomorphisme de G tel que f (x2 y 3 ) = x3 y 2 pour tous x, y ∈ G. Montrer que G
est abélien.
10) Soit G un groupe de cardinal n. Si A est une partie de G, nous noterons < A > le sous-groupe de G engendré
par A.
a) Soit A une partie de G telle que < B >�=< A > pour toute partie B strictement contenue dans A. Minorer le
cardinal de < A > en fonction de celui de A.
b) En déduire que G possède une partie génératrice de cardinal au plus log2 n.
11) Soit (G, +) un groupe abélien, A et B deux parties finies de G.
a) Montrer que si Card(A) + Card(B) > Card(G), alors A + B = G.
b) Montrer que H = {x ∈ G, A = x + A} est un sous-groupe de G.
c) Montrer que Card(A + B) = Card(A) si et seulement s’il existe b ∈ B tel que B ⊂ b + H.
12) Soit G un groupe. On note A l’ensemble des éléments de G d’ordre fini impair. Montrer que A est non vide et
que x �−→ x2 définit une bijection de A sur lui-même.
13) On admettra le théorème de Lagrange : si H est un sous-groupe d’un groupe fini G, le cardinal de H est un
diviseur de celui de G.
Soit G un groupe abélien fini. Pour tout x de G, nous noterons o(x) l’ordre de x dans G, i.e. le plus petit entier
n
n ≥ 1 tel que x�
= 1. On appelle exposant de G le P.P.C.M. des ordres des éléments de G. C’est donc l’entier r
défini par r =
o(x) = min{n ∈ N∗ , ∀x ∈ G, xn = 1}.
x∈G
a) Montrer que si a et b sont deux éléments de G tels que o(a) ∧ o(b) = 1, ab est d’ordre o(a)o(b).
αk
1 α2
b) Soit r = pα
1 p2 . . . pk la décomposition de r en produit de facteurs premiers. Montrer que pour tout i compris
i
entre 1 et k, il existe ai ∈ G tel que o(ai ) = pα
i . En déduire qu’il existe un élément de G dont l’ordre est l’exposant
de G.
c) Soit K un corps commutatif et G un sous-groupe du groupe (K ∗ , ·). Montrer que G est cyclique (et en particulier,
K ∗ est cyclique si K est fini).
√
14) Soit X = {x + y 2, x ∈ N, y ∈ Z avec x2 − 2y 2 = 1}.
a) Montrer que X est un sous-groupe de (R+∗ , ×).
b) Montrer que si x > x� > 1, y > 0, y � > 0 avec x, x� , y, y � ∈ N, alors :
�
√ ��
√ �
√
x + y 2 x� + y � 2 = x” + y” 2 avec 1 < x” < x, y” > 0 et x”, y” ∈ N
√
c) Montrer que X = {(3 + 2 2)n , n ∈ Z}.
d) Résoudre x2 − 2y 2 = 1 dans N2 .
15) Soit G un groupe et x un élément de G d’ordre fini k. Montrer que si k = nm avec n ∧ m = 1, il existe un
unique couple (y, z) d’éléments de G tel que x = yz = zy, y et z étant respectivement d’ordre n et m.
16) Montrer que dans un groupe de cardinal impair, tout élément est un carré.
17) (Centrale 2012) Soit G un groupe multiplicatif de cardinal n et p un diviseur premier de n. On pose :
E = {(x1 , . . . , xp ) ∈ Gp , x1 x2 . . . xp = 1}.
Pour X = (x1 , . . . , xp ) ∈ Gp et pour toute permutation σ ∈ Sp , on note σ.X = (xσ(1) , . . . , xσ(k) ).
On note σ le cycle (1, 2, . . . , p) et, pour tout X ∈ E, l’orbite de X est l’ensemble o(X) = {σ k .X, k ∈ Z}.
a) Montrer que E est de cardinal np−1 et que pour tout X ∈ E et pour tout σ ∈ Sp , σX ∈ E.
b) Montrer que pour tous X, Y dans E, on a soit o(X) = o(Y ), soit o(X) ∩ o(Y ) = ∅. En déduire que les orbites
forment une partitions de E.
c) Montrer que pour tout X ∈ E, le cardinal de o(X) est soit 1, soit p.
d) En déduire que G possède un élément d’ordre p.
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Exercices X-ENS
18) (PLC) Les groupes (Z, +) et (Z2 , +) sont-ils homéomorphes ? Pour quels (m, n) ∈ (N∗ )2 les groupes (Zn , +, )
et (Zm , +) sont-ils homéomorphes ?
19) (P) Parmi les groupes suivants, lesquels sont isomorphes : (Z, +), (Z2 , +), (Q, +), (Q+∗ , ×) ?
20) (P) Le groupe (Q, +) est-il engendré par une partie finie ?
21) (PLC) Soit G un groupe dont le groupe des automorphimes est trivial. Montrer que G est abélien, puis que G
est canoniquement un Z/2Z - espace vectoriel. En déduire que G est de cardinal 1 ou 2.
22) (X) Soit (G, ·) un groupe fini, n ∈ N∗ et ϕ : (G, ·) → (GLn (R), ◦) un morphisme de groupe. On pose :
π=
1 �
ϕ(g).
|G|
g∈G
a) Montrer que π est un projecteur.
b) On suppose que ϕ est à valeurs dans On (R). Montrer que la trace de π est égale à la dimension de X = {x ∈
Rn , ∀ g ∈ G, ϕ(g)(x) = x}.
c) Quel est le nombre moyen de points fixes d’une permutation de Sn ?
23) (PLC) Soit G un groupe de cardinal pq, avec p et q nombres premiers distincts. Montrer que G possède au
moins un sous-groupe non trivial. Lorsque H et H � sont deux sous-groupes distincts de G, calculer le cardinal de
H ∩ H �.
24) (P) Le groupe (Q, +) est-il engendré par une partie finie ?
25) (P 2011) Soit (G, .) un groupe fini et p un diviseur premier du cardinal n de G. On note ϕ la permutation
circulaire de Gp définie par :
∀x1 , . . . , xp ∈ G, ϕ(x1 , . . . , xp ) = (xp , x1 , . . . , xp−1 ).
a) Quels sont les points fixes de ϕ ?
b) Quel est le cardinal de l’ensemble X = {(x1 , . . . , xp ) ∈ Gp , x1 x2 . . . xp = 1} ?
c) Si x = (x1 , . . . , xp ) ∈ Gp , quel est le cardinal de ω(x) = {ϕk (x), k ∈ Z} ?
d) Montrer que le nombre d’éléments d’ordre p de G est congru à p − 1 modulo p. En déduire que G contient au
moins un élément d’ordre p.
26) (X 2012) Soit p un nombre premier. Déterminer, à isomorphisme près, tous les groupes d’ordre p2 .
27) (ENS 2014) Soit G un sous-groupe abélien de Sn tel que pour a, b ∈ {1, . . . , n}, il existe g ∈ G tel que g(a) = b.
Montrer qu’un élément g de G distinct du neutre n’a aucun point fixe. En déduire que G est de cardinal n.
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