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semaine du 2 novembre 2014
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´
EQUATIONS
DIFFERENTIELLES
LINEAIRES
EDL d’ordre 1
Exercice 7 : R´esolvez sur R les ´equations diff´erentielles suivantes :
1. y ′′ − 2y ′ + 2y = ex cos x
Exercice 1 : R´esolvez sur R les ´equations diff´erentielles suivantes :
1. y ′ + 2y = t2 .
3. y ′ + y = 2 sin t.
2. y ′ − y = (t + 1)et .
4. y ′ + y = t − et + cos t.
Exercice 8 : Soit ω0 , ω deux r´eels distincts strictement positifs. R´esolvez le
y” + ω 2 y = cos(ω0 t)
probl`
eme de Cauchy d’ordre 2
.
y(0) = 1 et y ′ (0) = 1
Exercice 2 : R´esolvez sur R les ´equations diff´erentielles suivantes :
1. (t2 + 1)y ′ + 2ty + 1 = 0.
′
−t2
2. y + 2t y = 2te .
√
3. 1 + t2 y ′ − y = 1
EDL d’ordre 2 `
a coefficients continus
4. (t2 + 1)2 y ′ + 2t(t2 + 1) y = 1.
′
5. (2 + cos t) y + sin t y = (2 + cos t) sin t.
Exercice 9 : Changement de fonction inconnue
R´esolvez sur R les ´equations diff´erentielles suivantes :
6. (t2 + 1) y ′ − t y = (t2 + 1)3/2 .
1. (1 + t2 ) y ′′ + 2t y ′ = 0 , en introduisant la fonction z(t) = y ′ (t).
Exercice 3 : R´esolvez sur les intervalles sp´ecifi´es les ´equations diff´erentielles suivantes :
1. ty ′ + αy = 0 I = R+⋆ (α ∈ R).
2. y ′ sin t − y cos t + 1 = 0, I =]0, π[.
√
3. 1 − t2 y ′ + y = 1, I =] − 1, 1[.
4. y ′ + y tan t = sin 2t, I =] − π2 , π2 [.
2. (1 + et ) y ′′ + y ′ − et y = 0, en introduisant la fonction z(t) = y ′ (t) + y(t).
5. sh t y ′ − ch t y = 1, I = R+⋆ .
√
6. t2 − 1 y ′ + y = 1, I =]1, +∞[.
2
3. y” + 4ty ′ + (3 + 4t2 )y = 0, en introduisant la fonction z(t) = et y(t).
Exercice 10 : Changement de variable
7. sin3 t y ′ = 2 cos t y, I =]0, π[.
y
= e−Arctan (1/t) , I = R+⋆ .
8. y ′ −
1 + t2
1. En utilisant le changement de variable s = Arctan t, pour t ∈ R, r´esolvez
l’´equation
(1 + t2 )2 y ′′ + 2(t − 1)(1 + t2 )y ′ + y = 0
Exercice 4 : R´esolvez les probl`
emes de Cauchy d’ordre 1 suivants :
2
2
(t + 1)y ′ + 2ty = t ln t
y ′ + 2ty = te−t
y(1) = 0
y(0) = 2
2. En utilisant le changement de variable s = Arccos t, pour t ∈] − 1, 1[, r´esolvez
l’´equation
(1 − t2 )y ′′ − ty ′ + 4y = Arccos t.
3. En utilisant le changement de variable s = ln t, pour t ∈ R+⋆ r´esolvez l’´equation
EDL d’ordre 2 `
a coefficients constants
t2 y ′′ + ty ′ − y = t2 .
Exercice 5 : R´esolvez sur R les ´equations diff´erentielles suivantes :
1. y ′′ (x) − 5y ′ (x) + 6y(x) = x2 + 1
2. y ′′ (x) − 2y ′ (x) + y(x) = 2ex ,
Miscellaneous
3. y ′′ (x) + 4y ′ (x) + 4y(x) = e−x
4. y ′′ (x) − 4y ′ (x) + 4y(x) = sin x.
Exercice 11 : D´eterminez toutes les fonctions continues f : R+ → R v´erifiant :
Z t
+⋆
f (u) du.
(⋆)
pour tout t ∈ R ,
2 t f (t) = 3
Exercice 6 : R´esolvez sur R les ´equations diff´erentielles suivantes :
1. y ′′ + 2y ′ + 2y = 2t − sin t
2. y ′′ − 2y ′ + y = 2ch t
2. y ′′ + 4y ′ + 4y = ch (2x) cos x.
0
3. y ′′ + y = t sin t.
4. y ′′ − 2y ′ + y = tet
1
Exercice 12 : D´eterminez toutes les fonctions continues f : R → R v´erifiant :
Z t
uf (u) du = 1
(⋆⋆)
pour tout t ∈ R,
f (t)−
0
Exercice 13 : Soit g : R → R une fonction de classe C 1 .
1. D´emontrez qu’il existe une unique fonction continue f : R → R telle que
Z x
t f (t) dt.
pour tout x ∈ R, f (x) = g(x) +
0
2. Calculez f lorsque g est d´efinie sur R par g(x) = x2 .
2

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