Mathématiques – AN3 – Equations différentielles - DM 6 DM 6 : Système D – énoncé long Les fonctions q1 et q2 de la variable réelle t ≥ 0 représentent l’évolution dans le temps des charges de deux condensateurs d’un circuit électrique. Conditions initiales : q1(0) = Q (positif) et q2(0) = 0. 3 ′ q1 + q1 = 16 q2 Les lois de l’électricité donnent le système différentiel : q′ + 5 q = −q′ 1 2 16 2 1) En dérivant ces deux expressions, puis en effectuant des substitutions adéquates, montrer 3 5 que le système implique q2′′ + q2′ + q2 = 0 . 2 16 2) Résoudre cette équation différentielle (sans oublier la condition initiale sur q2). 3) a. Grâce à une combinaison linéaire des deux équations du système, exprimer q1 en fonction de q’2 et q2 uniquement. b. En déduire une expression de q1 en fonction du temps. c. Grâce à la condition initiale sur q1, obtenir les expressions définitives des deux fonctions. page 2 AN3 – Equations différentielles – DM6 – Système D
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