TD1 - IPhT

UPMC – Master 2 de Math´
ematiques Fondamentales
Introduction `
a l’analyse semiclassique
(S. Nonnenmacher & D.V. Vu)
TD 1:
Principe d’incertitude de Heisenberg
Rappel. Int´egrale de Gauss: en dimension 1, soit α un nombre r´eel strictement
positif. On rappelle la formule
r
Z +∞
π
2
e−αx dx =
.
α
−∞
Notation. S(Rn ) est l’espace de Schwartz d´efini par
S(Rn ) = {f ∈ C ∞ (Rn ) : ∀α, β, on a sup |xα ∂ β f (x)| < ∞}.
x∈Rn
F, Fh sont la transformation de Fourier et la transformation de Fourier semiclassique, respectivement d´efinies par
Z
Z
dx
dx
−ihx,ξi
− ~i hx,ξi
e
ϕ(x)
Fϕ(ξ) :=
e
,
F
ϕ(ξ)
:=
ϕ(x)
.
~
(2π)n/2
(2π~)n/2
Rn
Rn
Attention: on utilisera la mˆeme notation h, i pour le produit scalaire eucliden
n
2
n
sur
R R , et pour le produit scalaire hermitien dans L (R ), d´efini par hϕ, ψi =
ϕ(x)ψ(x)dx
¯
(noter que ce produit est anti-lin´eaire par rapport `a la premi`ere
variable, et lin´eraire par rapport a` la seconde).
Exercice 1. En dimension n, soit A une matrice r´eelle sym´etrique d´efinie positive. Montrer qu’on a
r
Z
πn
,
e−hx,Axi dx =
det A
Rn
o`
u h•, •i est le produit scalaire dans Rn .
Exercice 2. Calculer
la dimension n > 1.
2
R
R
e−α(x−β) , o`
u α, β ∈ C avec Re α > 0. Discuter le cas de
Probl`
eme 1. (Principe d’incertitude de Heisenberg)
On consid`ere d’abord le cas de la dimension 1. Soit ψ ∈ S(R) une fonction
d’onde d´ecrivant l’´etat d’une particule quantique. On la suppose normalis´ee:
kψkL2 = 1. On rappelle que cette fonction d’onde permet de d´efinir la densit´e
de probabilit´e de position |ψ(x)|2 (resp. d’impulsion |F~ ψ(ξ)|2 ), qui conf`erent `a
x (resp. ξ) le statut de variables al´eatoires.
1
On note Ex et Var(x), (resp. Eξ et Varξ) la valeur moyenne et la variance de
la variable al´eatoire x (resp. de la variable al´eatoire ξ) pour les lois de probabilit´es
correspondant `a la particule dans l’´etat ψ:
Z
Z
2
Ex = hψ, Op~ (x)ψi =
x |ψ(x)| dx, Eξ = hψ, Op~ (ξ)ψi =
ξ 2 |F~ ψ(ξ)|2 dξ,
R
R
et de mˆeme pour les moyennes de x2 et ξ 2 (moments d’ordre 2).
i) D´emontrer l’in´egalit´e :
(1)
E(x2 ) E(ξ 2 ) ≥
~ 2
.
2
Astuce: consid´erer l’´etat φλ = (Op~ (x) + iλOp~ (ξ))ψ, et utiliser le fait que
kφλ kL2 ≥ 0 pour tout λ ∈ R.
Montrer qu’on peut se ramener au cas o`
u Ex = Eξ = 0, autrement dit obtenir
une in´egalit´e portant sur les variances Var(x)
p que la
et Var(ξ). On rappelle
2
variance est d´efinie par Var(•) = E (• − E•) , et l’´ecart-type ∆• = Var(•).
Retrouver alors l’in´egalit´e suivante, connue sous le nom d’ “in´egalit´e de Heisenberg”:
∆x ∆ξ ≥ ~/2
Remarque: en m´ecanique quantique, ∆x repr´esente l’incertitude initiale lors
de la mesure de la position de la particule dans l’´etat ψ. De mˆeme, ∆ξ repr´esente
l’incertitude initiale lors de la mesure de l’impulsion. L’in´egalit´e ci-dessus indique
qu’on ne peut pr´edire `a l’avance `a la fois la position et l’impulsion de la particule
avec des pr´ecisions arbitraires. Math´ematiquement, cela provient du fait qu’une
fonction ψ(x) et sa transform´ee de Fourier ne peuvent ˆetre simultan´ement arbitrairement localis´ees: une fonction ψ tr`es localis´ee implique que sa transform´ee
de Fourier est peu localis´ee.
ii) Supposons que l’´etat ψ est “centr´e” dans l’espace des phases: Ex = Eξ = 0.
Montrer que l’´egalit´e est atteinte dans (1) si et seulement si ψ est un ´etat gaussien,
et s’´ecrit pour un certain α > 0:
ψ(x) =
α 14 − αx2
e 2~ .
π~
Dans le cas α = 1, on appelle cet ´etat l’´etat coh´erent standard centr´e au point
(x = 0, ξ = 0). Expliquer pourquoi on peut affirmer que ψ se concentre fortement
au point (0, 0) de l’espace des phases, dans la limite semiclassique ~ 1.
iii) Identifier les ´etats minimisant l’in´egalit´e de Heisenberg, pour des valeurs
moyennes Ex = x0 , Eξ = ξ0 arbitraires. On notera ψ(x0 ,ξ0 ) les ´etats coh´erents
correspondants. L’´etat coh´erent ψ(x0 ,ξ0 ) repr´esente la meilleure approximation
d’une particule ponctuelle classique de vitesse x0 et d’impulsion ξ0 , qu’on puisse
obtenir en m´ecanique quantique.
V´erifier que pour des points d’espace des phases distincts (x0 , ξ0 ) 6= (x1 , ξ1 ), les
2
´etats coh´erents ψ(x0 ,ξ0 ) et ψ(x1 ,ξ1 ) sont quasi-orthogonaux dans le limite semiclassique.
v)* G´en´eraliser ces r´esultats aux dimensions n ≥ 1.
´
Probl`
eme 2. (Evolution
des ´etats coh´erents pour le mouvement libre sur R) On
consid`ere l’´equation de Schr¨odinger satisfaite par une particule libre sur R (de
masse m = 1):
(2)
i~
~2 ∂ 2 ψ
∂ψ
(t) = −
(t),
∂t
2 ∂x2
ψ(0) ∈ H 2 (R),
kψ(0)kL2 = 1 .
Montrer que si ψ(t) est une solution, alors sa norme L2 (probabilit´e totale) est
conserv´ee: kψ(t)kL2 = kψ(0)kL2 . On va montrer que cette ´equation admet une
solution pour toute fonction initiale ψ ∈ H 2 (R), et on va ´etudier cette solution
pour la donn´ee initiale ψ(0) = ψ(x0 ,ξ0 ) .
i) Comme le laplacien est une op´erateur diff´erentiel `a coefficients constants, il
est naturel de r´esoudre (2) en passant en transform´ee de Fourier. Ecrire l’´equation
satisfaite par F~ ψ(t). R´esoudre cette ´equation en calculant explicitement F~ ψ(t),
puis ψ(t). Traiter le cas o`
u ψ(0) = ψ(0,0) (d’abord avec α = 1 puis α quelconque).
La solution ψ(t) est encore gaussienne, elle est appel´ee un l’´etat coh´erent d´eform´e.
ii) On prend maintenant ψ(0) = ψ(x0 ,ξ0 ) . Calculer explicitement ψ(t). Calculer
les valeurs moyennes et les ´ecart-types de x et ξ pour ψ(t). En d´eduire que la
particule quantique d´ecrite par ψ(t) suit approximativement le mouvement de la
particule libre classique de donn´eees initiales (x0 , ξ0 ) (`a condition que le temps
ne soit pas trop grand). Comparer ψ(t) et ψ(x0 +tξ0 ,ξ0 ) .
Remarque: On dit que l’´equation de Schr¨odinger est dispersive, en ce sens
qu’elle augmente l’incertitude en position de l’´etat quantique (elle “disperse” la
fonction d’onde, par opposition `a l’´equation des ondes (∂t2 − ∆)ψ = 0).
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