TP n 1. Simulation de v.a 1 La fonction ALEA sous Excel 2 Simulation

IUT Ponsan
eme ann´
GEA 2`
ee (module Statistiques Inf´
erentielles)
TP de math´
ematiques
TP n◦ 1. Simulation de v.a
1
La fonction ALEA sous Excel
Exercice 1
Excel contient une fonction al´eatoire appel´e ALEA. Cet exercice propose de s’interesser `a cette variable al´eatoire
ainsi qu’`
a sa loi.
1. Taper dans quelques cellules = ALEA(). Dans quel intervalle cette v.a semble appartenir ?
2. Estimer sa moyenne na¨ıvement (approche fr´equentiste) `a l’aide de 10 tirages ? De 30 tirages ?
3. En utilisant une formule de la variance qui l’a fait apparaˆıtre comme une moyenne, estimer la variance en
vous basant sur un ´echantillon de taille 10, puis de taille 30.
4. Comparer les r´esultats de 2 et 3 avec respectivement :
Z 1
Z 1
1
x dx et
(x − )2 dx.
2
0
0
5. Effectuer 100 tirages de cette variable al´eatoire et regrouper par classe d’amplitude 0,2 sur l’intervalle
[0; 1] les effectifs correspondants. Calculer les fr´equences et fr´equences cumul´ees croissantes.
6. Representer graphiquement l’histogramme des fr´equences puis sur un autre graphe l’histogramme des
fr´equences cumul´ees croissantes. Refaire (sur un rep`ere diff´erent) le graphe correspondant aux mˆemes
donn´ees mais avec le type de graphique ligne .
7. Reprendre les questions 5 et 6 avec des classes d’amplitude 0,1 puis 0,05
Remarque : En prenant des classes d’amplitude de plus en plus petite, les courbes des graphes pr´ec´edents
tendent respectivement vers le graphe de deux fonctions. Comment nomme t’on ces deux fonctions ?
8. Quelle est `
a votre avis la fonction de densit´e f de la v.a ALEA() ? et la fonction de r´epartition ?
9. Soit λ ∈ [0; 1] . En Revenant aux histogrammes (regroupement par classes) et `a l’aide d’une approche
fr´equentiste, exprimer P(ALEA < λ) `
a l’aide de f.
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2
Simulation
Exercice 2
On consid`ere le jeu suivant : 2 joueurs A et B lancent chacun 10 fois un d`es (´equilibr´e). On note respectivement
XA et XB , les v.a repr´esentant la somme des chiffres des faces sup´erieures obtenues. Le joueur obtenant la plus
grande somme gagne. Simuler une partie de ce jeu sous Excel sous la forme suivante :
1
Chaque case doit contenir le tirage du joueur correspondant et la cellule inf´erieure fusionn´ee doit automatiquement indiquer le joueur vainqueur.
Exercice 3
Deux personnes A et B jouent chacun au pile ou face. A joue avec une pi`ece ´equilibr´ee tandis que B joue avec
une pi`ece biais´ee. La pi`ece de B tombe sur pile avec probabilit´e 0,7. Chacun lance 100 fois la pi`ece.
1. Simuler cette premi`ere ´etape.
2. Compter dans chaque cas le nombre de piles obtenus `a l’aide de la fonction NB.SI()
3. Calculer le rapport, nombre de piles obtenus/nombre total de lancers. Conclusion ? Est ce que cela vous
surprend ?
4. D´esormais on ne s’int´eresse plus qu’au joueur de type B. On consid`ere 108 joueurs B1 , ..., B108 jouant
chacun 100 fois avec la pi`ece biais´ee. Simuler les 100 lancers des 108 joueurs et faire apparaˆıtre le nombre
de piles obtenus pour chaque joueur.
5. Regrouper par classe d’amplitude 10 `
a partir de 0 et jusqu’`a 100 les effectifs des nombres de piles obtenus.
6. Tracer l’histogramme des fr´equences du nombre de piles obtenus.
7. Soit X une v.a suivant une loi Binomiale(100 ; 0, 7). A l’aide de la fonction loi.BINOMIALE, calculer P[ 5k < X 6 5(k + 1) ] pour k = 0...19 puis tracer l’histogramme correspondant. Comparer avec
l’histogramme obtenu `
a la question 5.
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