Distribuzioni - Dipartimento di Matematica

Metodi Matematici per l’Ingegneria
Distribuzioni
Esercizio 1. Calcolare il limite nel senso delle distribuzioni, per n → ∞, delle seguenti successioni
(1) fn (x) = x1/n χ[0,1] (x) + H(x − 1),
(2) fn (x) =
1
n
x(1−n)/n χ[0,1] (x),
(3) fn (x) = n2 xe−nx H(x),
(4) fn (x) = log x H(x − n1 ),
(5) fn (x) =
1
cos n
√
x
H(x − n1 ),
(6) fn (x) = nχ(0, 1 ) (x) − nχ(− 1 ,0) (x),
n
n
(7) un = n δ1/n − δ−1/n + δn ,
(8) fn (x) = n2 χ(1,1+ 1 ) (x) − n2 χ(1− 1 ,1) (x),
n
n
(9) fn (x) = n2 x2 χ(2,2+ 1 ) (x) − n2 x2 χ(2− 1 ,2) (x).
n
n
Esercizio 2. Calcolare la derivata prima, nel senso delle distribuzioni, delle seguenti funzioni
(1) f (x) = H(3x − 2),
(2) f (x) = sgn x,
(3) f (x) = max{n ∈ Z : n ≤ x},
(4) f (x) = |x|,
(5) f (x) = sinh x H(x),
(6) f (x) = | sinh x|,
(7) f (x) = cosh x H(x),
Esercizio 3. Calcolare le derivate prima e seconda delle seguenti distribuzioni
(
1 − x2 , |x| ≤ 1,
(1) f (x) =
0,
|x| > 1,

2

2 − x , |x| ≤ 1,
(2) f (x) = 2 − |x|, 1 < |x| ≤ 2,


0,
|x| > 2,
(3) f (x) = sin x H(x),
(4) f (x) = | sin x|,
R1
R +∞
(5) hu, ϕi = −1/2 cos(πt)ϕ(t) dt + 1 ϕ(t) dt,
Esercizio 4. Calcolare i seguenti prodotti tra funzioni e distribuzioni
(1) sin(πx)δ1
1
(2) sin( πx
4 )δ1
(3)
(4)
(5)
sin(πx)
δ0
x
0
x(δ0 + 2δ1 )
x2 (δ00 + 2δ1 )
(6) (x − 1)(δ00 + 2δ1 )
(7) x(x − 1)(δ00 + 2δ1 )
(8) x2 (x − 1)(δ00 + 2δ1 )
Esercizio 5. Calcolare la trasformata di Fourier delle seguenti distribuzioni temperate
(1) f (x) = x2 + 2,
(2) f (x) = sin(4x) sin(2x),
(3) f (x) = x(1 + sin 3x),
(4) f (x) = (1 − |x|)χ[−1,1] (x),
(5) f (x) = xχ[−2,2] (x),
x3 − x + 2
,
x2 + 1
x2
(7) f (x) = 2
,
x + 2x + 2
x2 cos 4x
(8) f (x) =
,
(x − i)2
(6) f (x) =
Esercizio 6. Determinare la trasformata di Laplace delle seguenti distribuzioni
P
n
(1) δ0 + 2 ∞
n=1 (−1) δ2n ,
(2) f (t) := [t]H(t), t ∈ R,
(
1, t ∈ ∪∞
k=0 [2k, 2k + 1),
(3) f (t) :=
0, altrimenti,
(
t, t ∈ ∪∞
k=0 [2k, 2k + 1),
(4) f (t) :=
0, altrimenti,
(5) f (t) := | sin t|H(t), t ∈ R.
Esercizio 7. Determinare l’antitrasformata di Laplace delle seguenti funzioni
(1) f (s) =
2 − s2
,
(s + 2)(s − 1)
(2) f (s) =
s3 + 3s2 + s − 4
,
(s + 2)2 (s + 1)
(3) f (s) =
s5 − s3 + 1
,
s2 (s2 − 1)
2
(4) f (s) =
s4 + 8s2 + 17
,
(s2 + 4)2
s3 − e−s
,
s2
(2s2 + 2s + 1)e−2s
(6) f (s) =
,
s(s + 1)
(5) f (s) =
(7) f (s) =
(2s2 − 4s + 1)(e−s − e−2s )
,
s(s − 2)
(8) f (s) =
s3 e−s − e−3s
.
s2 (s + 1)
Esercizio 8. Determinare la soluzione, nel senso delle distribuzioni, delle seguenti equazioni differenziali
(
y 00 + 7y 0 + 12y = 2 + δ2
(1)
y(0) = y 0 (0) = 0,
(
y 00 + 6y 0 + 13y = δ2π
(2)
y(0) = y 0 (0) = 0,
(
y 00 − 3y 0 + 2y = H(t − 2) + δ1 (t)
(3)
y(0) = 0, y 0 (0) = 0,
(
y 00 − 4y 0 + 3y = H(t − 2) + δ30 (t)
(4)
y(0) = 0, y 0 (0) = 0,
(
y 00 − y 0 − 2y = δ1 + δ2
(5)
y(0) = 3, y 0 (0) = 0,
(
y 00 + 2y 0 + y = δ2 (t)
(6)
y(0) = 1, y 0 (0) = 1.
3

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