COMPITO A 1) Il carrello di un ottovolante si muove, senza attrito, lungo la pista rappresentata in figura. Sapendo che la velocità del carrello nel punto A, posto a quota hA = 16 m è vA = 2 m/s, calcolare: (a) la velocità del veicolo in B (quota hA/2) ed in C (quota 0). Calcolare inoltre (c) il modulo dell’accelerazione costante necessaria per fermarlo in D se i freni vengono azionati in C, con |CD| = 40 m. ! 2) Due corpi di massa mB = 0.1 kg ed mA = 2 mB, agganciati agli estremi di una molla di massa trascurabile, sono su un piano orizzontale liscio. La molla ha costante elastica k = 5 N/m e lunghezza a riposo L. Inizialmente la molla è tenuta compressa di un tratto l0 = 10 cm mediante un filo collegato alle due masse. Bruciando il filo si lasciano muovere le due masse sotto l’azione della molla. Determinare la velocità massima raggiunta dai due corpi nel loro moto. ! 3) Una sfera di massa 2m è appesa ad un filo inestensibile di lunghezza L = 1.2 m e massa trascurabile. Quando si trova ferma nel punto di equilibrio la sfera è colpita da una sfera più piccola di massa m in moto con velocità orizzontale v. Sapendo che l’urto è completamente anelastico, e che il sistema dopo l’urto oscilla con un’ampiezza angolare ϑ=10º, determinare il modulo della velocità iniziale v della sfera più piccola. ! 4) Nel sistema in figura la sbarra di lunghezza L e densità lineare di massa λ e' incernierata con un angolo α1 = 30º ad un asse verticale z, posto in rotazione con velocità angolare ω. Se ad un istante t un meccanismo interno al sistema asse-sbarra porta l'angolo fra l'asse e la sbarra ad un valore α2 = 20º calcolare la corrispondente velocità angolare. Si trascurino gli attriti. ! 5) Un gas ideale biatomico si trova in equilibrio nello stato A (pA = 105 Pa; VA = 20 10-3 m3, TA = 288 K). Con una compressione isoterma reversibile il volume viene ridotto a VB = 5 10-3 m3; dallo stato B il gas passa successivamente allo stato C e infine di qui ritorna allo stato A con una espansione adiabatica reversibile. Il gas assorbe nella trasformazione BC il calore QBC = 4.56 kJ; la variazione di entropia dell’ambiente nella stessa trasformazione e’ pari a ΔSamb(BC) = -9.62 J/K. (a) Disegnare il ciclo nel piano PV. Calcolare (b) il lavoro scambiato in un ciclo (c) il rendimento. Dire inoltre (d) se la trasformazione BC è reversibile o irreversibile. ! ! ! ! ! ! ! COMPITO B 1) Un punto materiale di massa m = 0.1 kg si muove con accelerazione tangenziale costante aT = 0.2 m/s2 lungo una guida circolare di raggio R = 3.0 m posta in un piano orizzontale e priva di attrito. All’istante iniziale t = 0 la velocità del corpo è nulla. Determinare (a) il tempo impiegato dal corpo a compiere 10 giri; (b) il valore della forza massima esercitata dalla guida sul corpo in tale intervallo di tempo. 2) Una sferetta di massa m = 0.4 kg è agganciata ad una molla avente costante elastica k = 5 N/m e lunghezza a riposo L = 35 cm . L’altro estremo della molla è vincolato a un punto fisso O. Il sistema è su un piano orizzontale liscio. (a) Se si sposta la sferetta in un punto O’, allungando la molla di un tratto D = 12 cm e poi la si lascia libera di muoversi sotto l’azione della molla, qual’è la velocità massima raggiunta dalla sferetta? (b) Volendo invece far muovere la sferetta sul piano orizzontale lungo una circonferenza di raggio R = L+D, quale velocità deve essere impressa alla sferetta nel punto O’? ! 3) Un cuneo ha una superficie inclinata liscia che forma un angolo α = 30º con il piano orizzontale. Determinare quale deve essere l’accelerazione del cuneo, precisandone modulo e direzione, affinché un oggetto poggiato sulla superficie inclinata non scivoli verso il basso o comunque si muova di moto rettilineo uniforme rispetto al cuneo. ! 4) Una sbarra sottile in figura è in equilibrio sopra un piolo. La sbarra ha lunghezza L e densità di massa lineare non uniforme λ = kx, dove x e' la distanza dall'estremo di sinistra. Calcolare la massa della sbarra e la distanza del punto di appoggio sul piolo rispetto all'estremo di sinistra della sbarra. (k = 3kg/m2, L = 40 cm) ! 5) n = 3.062 10-2 moli di gas ideale biatomico descrivono il seguente ciclo: (1) dallo stato iniziale A (pA = 105 Pa, VA = 8 10-3 m3) eseguono una trasformazione adiabatica reversibile fino allo stato B (VB = 4 10-3 m3, TB = 389.3 K); (2) dallo stato B eseguono una trasformazione isoterma irreversibile fino allo stato C (VC = 7 10-3 m3), durante la quale il gas assorbe il calore Q1 = 550 J; (3) dallo stato C allo stato iniziale A eseguono una trasformazione reversibile rettilinea in cui la pressione decresce linearmente col volume. (a) Disegnare il ciclo nel piano PV. Calcolare (b) il rendimento del ciclo; (c) la variazione di entropia dell’universo in un ciclo. ! ! ! ! ! ! COMPITO C 1) Il carrello di un ottovolante si muove, senza attrito, lungo la pista rappresentata in figura. Sapendo che la velocità del carrello nel punto A, posto a quota hA = 16 m è vA = 2 m/s, calcolare: (a) la velocità del veicolo in B (quota hA/2) ed in C (quota 0). Calcolare inoltre (c) il modulo dell’accelerazione costante necessaria per fermarlo in D sei freni vengono azionati in C, con |CD| = 40 m. ! 2) Due corpi di massa mB = 0.1 kg ed mA = 2 mB, agganciati agli estremi di una molla di massa trascurabile, sono su un piano orizzontale liscio. La molla ha costante elastica k = 5 N/m e lunghezza a riposo L. Inizialmente la molla è tenuta compressa di un tratto l0 = 10 cm mediante un filo collegato alle due masse. Bruciando il filo si lasciano muovere le due masse sotto l’azione della molla. Determinare la velocità massima raggiunta dai due corpi nel loro moto. ! 3) Una sfera di massa 2m è appesa ad un filo inestensibile di lunghezza L = 1.2 m e massa trascurabile. Quando si trova ferma nel punto di equilibrio la sfera è colpita da una sfera più piccola di massa m in moto con velocità orizzontale v. Sapendo che l’urto è completamente anelastico, e che il sistema dopo l’urto oscilla con un’ampiezza angolare ϑ=10º, determinare il modulo della velocità iniziale v della sfera più piccola. ! 4) In un recipiente sigillato della capacità V = 18.7 m3 è presente una massa M1 = 4.92 kg di acqua, in equilibrio termico a 0 °C con una massa M2= 1.35 kg di ghiaccio; il resto dello spazio interno è vuoto. Al tempo t = 0 si inizia a scaldare il contenuto del recipiente con una potenza termica costante P = 825 W. Calcolare: (a) il tempo t1 occorrente per la fusione completa del ghiaccio; (b) il tempo t2 occorrente per l’evaporazione completa dell’acqua. Calore latente di fusione del ghiaccio λF = 333 kJ/kg. Calore specifico dell’acqua CA = 4188 J/kg K. Calore latente di evaporazione dell’acqua λV = 2256 kJ/kg. Solo per i 9 CFU: calcolo della variazione dell’entropia del ghiaccio durante il processo di liquefazione. ! ! ! ! ! ! ! COMPITO A (I) 1) Un carrello si muove con accelerazione costante A su di un piano orizzontale. Sul carrello è fissato un piano scabro (rispettivamente di coefficiente di attrito statico µs e dinamico µd) inclinato di un angolo φ rispetto al piano orizzontale. Sul piano scabro, ad una quota h rispetto al carrello, è poggiato un oggetto di massa m, inizialmente fermo rispetto al piano stesso. Si calcoli: a) il valore massimo Al dell’accelerazione del carrello per il quale l’oggetto rimane fermo rispetto al piano scabro; b) il tempo impiegato per giungere alla base del carrello se quest’ultimo si muove con accelerazione A = 2 Al. (µs = 0.7; µd = 0.6; φ = 30º; h = 0.2 m; m = 1 kg). ! 2) Un oggetto puntiforme viene lanciato verso l’alto, ad un angolo α = 55.0° con l’orizzontale, come mostrato in figura. La sua massa è m = 1.43 kg e la sua velocità iniziale è v0= 18.8 m/s. Durante il volo l’azione combinata del vento e della resistenza dell’aria produce sull’oggetto una forza orizzontale uniforme in direzione ovest, di modulo |F| = 2.07 N. Calcolare: a) l’altezza hM massima raggiunta dall’oggetto durante il volo; b) la distanza d raggiunta al momento dell’impatto con il terreno, che è piano; c) il lavoro compiuto dalla forza F dal lancio all’impatto, e l’energia cinetica Kf dell’oggetto al momento dell’impatto. ! 3) Un’asta rigida di massa m1 e lunghezza d = 0.8 m è incernierata nell’estremo A ed è appesa nell’estremo B a un filo collegato alla massa m2 = 10 kg; il sistema è in equilibrio con l’asta orizzontale. Calcolare a) il valore della reazione vincolare in A. Si interrompe il collegamento in B e l’asta ruota sotto l’azione della forza di gravità; nel vincolo A agisce un momento che si oppone alla rotazione, M = kϑ uz con k = 50 Nm/rad e ϑ angolo che l’asta forma con l’asse x. Calcolare b) la velocità angolare dell’asta quando ϑ = π/2. ! 4) Una mole di gas perfetto biatomico, contenuto in un recipiente cilindrico dotato di pistone scorrevole senza attrito, compie il ciclo ABCA, dove: 1) AB è un’espansione adiabatica reversibile in cui il gas raddoppia il proprio volume; 2) BC e’ una compressione reversibile isoterma che riporta il cilindro al volume iniziale; 3) nel tratto CA il cilindro viene messo in contatto termico con una sorgente alla temperatura TA del punto A fino a raggiungere l’equilibrio; durante questa trasformazione il volume del cilindro rimante costante. a) Disegnare il ciclo nel piano pV. Calcolare b) η del ciclo e c) la variazione di entropia dell’universo in un ciclo termodinamico. ! COMPITO A (II) 1) 1. Un disco e una sfera piena di pari raggio r e massa md e ms sono rigidamente collegati con sbarrette di massa trascurabile e lunghezza ld e ls ad un asta posta in verticale. L’asta è libera di ruotare attorno al suo asse. Un’estremità dell’asta è collegata attraverso un giunto all’albero di un motore. L’altra è inserita in un blocco a forma di cilindro forato, la cui sezione è mostrata in figura. Calcolare per quale valore di ld la rotazione attorno all’asse verticale avviene senza che l’asta si appoggi al blocco. In queste condizioni che potenza media deve erogare il motore perché l’asta raggiunga la velocità angolare ω = 3 giri/s in un minuto partendo da ferma? (r = 10 cm , md = 0.5 kg e ms = 1 kg, ls = 0.5 m). ! 2) Due rimorchiatori tirano una chiatta di massa 10 tonnellate lungo un canale applicando le forze F1 = 1414 N e F2 = 1000 N. F1 è inclinata di un angolo θ1 = 30° rispetto alla riva. Calcolare a) che inclinazione deve avere F2 perché la rotta della chiatta sia parallela alla riva; b) l’accelerazione della chiatta; c) lo spazio percorso dalla chiatta, partita da ferma, prima di raggiungere la velocità di 2.6 m/s. (Supporre l’attrito con l’acqua e la corrente trascurabili). 3) Un uomo su una piattaforma ha massa mu = 80 kg , mentre la piattaforma di massa Mp pesa 190 N. Sulla piattaforma e' fissata una puleggia priva di attrito attraverso la quale passa una corda ideale. a) Con che forza l'uomo deve tirare la corda per sollevarsi ( insieme alla piattaforma) con un'accelerazione pari a = 0.36 m/s2? b) Dopo aver applicato la forza F costante per 5 s, a partire dalla quota h0 in cui era fermo, l’uomo lascia la presa sulla corda. Con quale velocità riattraverserà la quota h0? ! 4) Un serbatoio di volume V1 = 10 l è riempito con n = 3 moli di aria alla temperatura T1 = 283 K. Mediante una compressione isoterma il volume viene portato a V2 = 2 l. Successivamente il gas viene fatto espandere adiabaticamente fino a V1 e poi riscaldato a volume costante fino a tornare alla temperatura iniziale. Le trasformazioni sono tutte reversibili. Si consideri l’aria un gas perfetto biatomico. Calcolare il lavoro compiuto e la variazione di entropia del gas per ciascuna trasformazione ed in totale sul ciclo termodinamico.