Blatt 9

Analysis 1 für das Informatikstudium
Sommersemester 2016
Schüth
Übungsblatt 9
Abgabe am 28.6.2016 zu Beginn der Vorlesung
Aufgabe 25.
(6 Punkte)
Lösen Sie die folgenden Gleichungen nach x auf, d.h. bestimmen Sie (als explizite Formeln
oder Zahlen) alle Lösungen x ∈ R, wobei in Ausdrücken loga x per Definition nur x > 0 in
Frage kommt:
x
x
(a) 5(7 ) = 3(2 )
(b) (log3 x)2 − 3 log3 x + 2 = 0
(c) xlog2 x + 16x− log2 x = 17
Aufgabe 26.
(6 Punkte)
P∞
k
Sei P (x) =
6 0 für alle k ≥ k0 .
k=0 ak x eine Potenzreihe.
ak+1 Es gebe k0 ∈ N mit ak =
Beweisen Sie: Wenn die Folge
gegen eine Zahl in R konvergiert oder den
ak
k≥k0
uneigentlichen Grenzwert ∞ hat, und wenn
ak+1 ∈ R ∪ {∞}
a := lim k→∞
ak diesen (eigentlichen oder uneigentlichen) Grenzwert bezeichnet, dann gilt für den Konvergenzradius R von P :


 0, falls a = ∞,

∞, falls a = 0,
R=


 1 , andernfalls.
a
P∞
(Tipp: Untersuchen Sie für festes x 6= 0 die Konvergenz/Divergenz von k=0 ak xk mit Hilfe
der jeweiligen dafür hinreichenden Bedingung aus dem Quotientenkriterium.)
Aufgabe 27.
Bestimmen Sie die Konvergenzradien der folgenden Potenzreihen:
∞
X
1
xk
(a)
(k + 1)2
k=0
∞ X
2k k
x (Tipp: Benutzen Sie Aufgabe 26.)
(b)
k
(c)
k=0
∞
X
k=0
k2 k
x
3k
(d) 1 + x + x4 + x9 + x16 + x25 + x36 + . . .
(6 Punkte)

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