Blatt 5 - Fakultät für Mathematik

Prof. Dr. W. Kaballo
Dr. J. Sawollek
Fakultät für Mathematik
TU Dortmund
5. Übungsblatt zu “Höhere Mathematik II (P/MP/ET/IT/I-I)“
Sommersemester 2016
Abgabetermin: Dienstag, 17.05.2016, 12.00 Uhr
Aufgabe 17: Die Reihe
ak (z − a)k habe Konvergenzradius ρ = 2. Es sei m ∈ N.
P
k≥0
Bestimmen Sie die Konvergenzradien folgender Potenzreihen.
X
X
X
2
k
mk
a)
am
(z
−
a)
b)
a
(z
−
a)
c)
ak (z − a)k
k
k
k≥0
k≥0
k≥0
Aufgabe 18: Berechnen Sie mit dem Newton-Verfahren log 2 bis auf einen Fehler < 10−10 ,
indem Sie log 2 als Nullstelle von f (x) := ex − 2 betrachten.
Aufgabe 19: Berechnen Sie das Interpolationspolynom über [0, 2π] zu sin x und den
folgenden Stützstellen mit den Lagrange-Basispolynomen.
, 4π
, 2π
b) 0, 2π
3
3
a) 0, π, 2π
c) 0, π2 , π, 3π
, 2π
2
Aufgabe 20: a) Es seien f ∈ C 4 [a, b], x0 = a, x1 = a+b
, x2 = b. Für y ∈ [a, b]\{x0 , x1 , x2 }
2
sei Py das kubische Interpolationspolynom mit Stützstellen y, x0 , x1 , x2 zu f . Zeigen Sie
Z
a
b
(b − a)5 (4)
(Py (x) − P2 (x)) dx = 0 und |Q3 (f )| ≤
kf k
2880
für den Fehler Q3 (f ) der Keplerschen Faßregel.
b) Es seien f ∈ C 2 [a, b] bzw. f ∈ C 4 [a, b], n ∈ N, h =
für k = 0, 1, . . . , 2n. Zeigen Sie
|τ (h)| ≤
b−a
,
n
xk = a + k h2 und yk = f (xk )
(b − a)3 00
h2
(b − a)kf 00 k =
kf k
12
12 n2
für den Fehler τ (h) der summierten Trapezregel und
|σ(h)| ≤
h4
(b − a)5 (4)
(b − a)kf (4) k =
kf k
2880
2880 n4
für den Fehler σ(h) der Simpson-Regel.
Z 1
dx
π
c) Es ist
= . Wie groß muss n gewählt werden, um mit der Trapezregel bzw.
2
4
0 1+x
der Simpson-Regel π bis auf einen Fehler < 10−4 zu bestimmen?

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