Blatt 5 - Ferienkurse - Technische Universität München

¨ Munchen
¨
Technische Universitat
Zentrum Mathematik
Stefan Kranich
Ferienkurs LADS 1 (WS 2014/15)
http://ferienkurse.ma.tum.de/Ferienkurse/WiSe1415/LinAlgM
Aufgabenblatt 5 (26. M¨
arz 2015)
Aufgabe 1. Koordinatentransformationsmatrix eines Basiswechsels [Aufgabenblatt 12, Aufgabe 69]
Gegeben seien der Vektorraum V = R2 sowie die folgenden beiden Tupel von Vektoren
1
3
1
1
A = a1 =
, a2 =
und B = b1 =
, b2 =
.
2
4
1
2
1. Weisen Sie nach, dass A und B jeweils eine Basis f¨
ur V = R2 bilden.
8
∈ R2 einmal bez¨
uglich der Basis A und einmal bez¨
uglich der
2. Geben Sie die Koordinaten des Vektors w =
12
Basis B an.
3. Bestimmen Sie die Koordinatentransformationsmatrix MBA (id) f¨
ur den Koordinatenwechsel von Koordinaten
bez¨
uglich der Basis A in Koordinaten bez¨
uglich der Basis B.
B
4. Bestimmen Sie die Koordinatentransformationsmatrix MA
(id) f¨
ur den Koordinatenwechsel von Koordinaten
bez¨
uglich der Basis B in Koordinaten bez¨
uglich der Basis A.
Aufgabe 2. Kern und Bild linearer Abbildungen [Aufgabenblatt 11, Aufgabe 65]


 
 
1 1
0
x1
x1


1
0
−1
 · x2 .
Gegeben sei die Abbildung f : R3 → R4 mit x2  7→ 
0 1
1
x3
x3
2 1 −1
1. Ist f linear?
2. (a) Ermitteln Sie eine Basis von Kern(f ). Welche Dimension hat der Kern(f )?
(b) Ermitteln Sie eine Basis von Bild(f ). Welche Dimension hat das Bild(f ) = f (R3 )?
¨
(c) Uberpr¨
ufen Sie die Aussage des Dimensionssatzes an diesem konkreten Beispiel.
3. (a) Ist f surjektiv?
(b) Ist f injektiv?
Aufgabe 3. Wahr oder falsch? [a): Wiederholungsklausur Lineare Algebra 1 f¨
ur Lehramt Gymnasium
(WS 2010/11], Aufgabe 1; b)–e): Klausur Lineare Algebra 1 f¨
ur Lehramt Gymnasium (WS 2011/12),
Aufgabe 1]
a) Es gibt eine lineare Abbildung f : R5 → R2 mit dim(Kern(f )) = dim(Bild(f )) + 1.
b) F¨
ur zwei endlich erzeugte Vektorr¨
aume V und W ist jede surjektive lineare Abbildung f : V → W auch injektiv.
c) Es gibt endlich erzeugte Vektorr¨
aume mit unendlich vielen verschiedenen Basen.
d) Es gibt endlich erzeugte Vektorr¨
aume mit nur endlich vielen verschiedenen Basen.
e) Sei V ein K-Vektorraum und (v1 , v2 , v3 , v4 , v5 ) eine Basis von V . Sei w = v1 + 7v2 + 2v4 − 3v5 . Dann ist
(v1 , v2 , w, v4 , v5 ) auch eine Basis.
1

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