Script vom 7.5.2015

Mathematik f¨
ur Naturwissenschaftler II

1
−1
2.5.5 Beispiel Betrachten wir A = 
3
0
2.5
2
0
2
1
0
2
0
7


3
1
.
2
1
+
1
− − 1

Mit Vorzeichenschachbrett versehen haben wir  +
3
−
0
2
+
0
−
2
+
1
−
+
0
−
2
+
0
−
7

3
+ 
1
− .
2
+
1
−
Da die dritte Spalte zwei Nullen enth¨
alt, entwickeln wir nach dieser Spalte und erhalten (die
Vorzeichen entnehmen wir dem Schachbrett)
det A = +0 · |A13 |−2 · |A23 |+0 · |A33 |−7 · |A43 |
1 2 3
1 2 3
= −2 3 2 2 − 7 −1 0 1
0 1 1
3 2 2
= −2 (2 + 0 + 9 − 0 − 2 − 6) − 7 (0 + 6 + (−6) − 0 − 2 − (−4))
= −2 · 3 − 7 · 2
= −20 .
Wir k¨onnten nat¨
urlich auch nach einer anderen Spalte oder Zeile entwicklen, dann w¨
urden aber weniger Summanden wegfallen und wir h¨atten mehr Arbeit. So brauchen wir nur zwei Determinanten
mit der Sarrus-Regel berechnen.
2.5.6 Satz Seien A, B quadratische Matrizen und E eine Einheitsmatrix. Dann gilt:
(1)
det(AT ) = det A
(2)
det(A · B) = det A · det B
(3)
det E = 1
(4)
Ist A invertierbar, dann ist det(A−1 ) =
(5)
Ist eine gesamte Zeile oder Spalte in A gleich Null, dann ist det A = 0.
1
.
det A
2.5.7 Bemerkung Im Allgemeinen gilt nicht det(A + B) = det A + det B.
Wir waren auf der Suche nach einer Technik, entscheiden zu k¨
onnen, ob eine Matrix invertierbar
ist oder nicht. Tats¨
achlich erlauben Determinanten diese Unterscheidung:
2.5.8 Satz Eine quadratische Matrix A ist genau dann invertierbar, wenn det A = 0.
Eine Folgerung aus diesem Ergebnis ist wegen Satz 2.4.10:
2.5.9 Satz Die Zeilenvektoren bzw. Spaltenvektoren einer Matrix A sind genau dann linear unabh¨
angig, wenn det A = 0.
Damit haben wir auch ein recht bequemes Verfahren gefunden, Vektoren auf ihre lineare Unabh¨
angigkeit zu pr¨
ufen.
Dr. Peter J. Bauer
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Mathematik f¨
ur Naturwissenschaftler II
2.6
Um die Inverse einer Matrix zu berechnen, k¨
onnen wir bekanntlich die elementaren Zeilen- bzw.
Spaltenoperationen (Def. 2.4.5) verwenden. Wie ver¨
andert sich die Determinante unter diesen
Operationen ?
2.5.10 Satz Sei A eine quadratische Matrix. Entsteht die Matrix B aus A durch . . .
(1)
Multiplikation einer Zeile/Spalte mit einer Konstanten λ = 0, dann gilt det B = λ · det A.
(2)
Vertauschung zweier Zeilen/Spalten, dann gilt det B = − det A.
(3)
Addition des Vielfachen einer Zeile/Spalte zu einer anderen, dann gilt det B = det A.
Dieses Wissen k¨
onnen wir auch zur Berechnung von Determinanten nutzen. Betrachten wir eine
spezielle Form von Matrizen:
2.5.11 Definition Eine quadratische Matrix A = (aik ) ist eine . . .
(1)
ur i < k,
untere Dreiecksmatrix, wenn aik = 0 f¨
(2)
obere Dreiecksmatrix, wenn aik = 0 f¨
ur i > k und
(3)
ur i = k.
Diagonalmatrix, wenn aik = 0 f¨
2.5.12

2 0
0 1
0 0


2 1 0 3
0 −1 4 2

Beispiele 
0 0 0 1 ist eine obere Dreiecksmatrix,
0 0 0 1

0
0 ist eine Diagonalmatrix (und damit auch eine obere und eine untere Dreiecksmatrix).
3
2.5.13 Satz Sei A = (aik ) eine (n, n)-Dreiecksmatrix. dann gilt
det A = a11 a22 · · · ann .
Damit (und mit den elementaren Zeilen-/Spaltenoperationen) k¨
onnen wir nun Determinanten
berechnen:
2.5.14 Beispiel
0 0 3
2 1 −4
0 3 −1
0 0 0
2.6
2
0 0
0
=
−
0
−1
0
−1
1 −4
0 3
3 −1
0 0
2
0 0
0
=
+
0
−1
0
−1
1 −4
3 −1
0 3
0 0
0 −1
= 2 · 3 · 3 · (−1) = −18
0 −1
Basistransformation
Wie wir nach Definition 1.7.10 wissen, k¨
onnen Vektoren bez¨
uglich verschiedener Basen dargestellt
werden. Normalerweise verwenden wir die Basis aus Einheitsvektoren, die einem kartesischen Koordinatensystem entspricht. Dort entspricht die z.B. Norm eines Vektors auch dem, was wir uns
unter seiner L¨
ange vorstellen (vgl. Bemerkung 1.2.3).
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Mathematik f¨
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2.6
In manchen Situationen ist es aber sinnvoll, auch andere Basen zu betrachten. Kristallgitter sind
beispielsweise oft nicht rechtwinklig ausgerichtet. Hier ist dann ein entsprechendes schiefwinkliges
Koordinatensystem zweckm¨
aßiger.
Nat¨
urlich ben¨
otigen wir eine m¨
oglichst einfache Technik, zwischen den verschiedenen Basen zu
wechseln, d.h. die Darstellung eines Vektors bez¨
uglich einer Basis in die Darstellung bez¨
uglich
einer anderen Basis umzurechnen. Dies wird Basistransformation oder Basiswechsel genannt.
2.6.1 Definition Sei E = {e1 , . . . , en } die Basis des Rn aus Einheitsvektoren und sei B =
{b1 , . . . , bn } eine weitere Basis des Rn .
 
b1k
 b2k 
 
Sei bk =  .  f¨
ur k = 1, . . . , n, dann ist
 .. 
bnk


b11 · · · b1n

.. 
..
TEB =  ...
.
. 
bn1
···
bnn
die Transformationsmatrix zum Basiswechsel von B nach E.
2.6.2 Bemerkung TEB ist die Matrix, deren Spalten gerade die B-Basisvektoren bilden:
TEB = b1 b2 . . . bn
2.6.3 Beispiel In Beispiel 1.7.12 hatten wir bereits die Basis B = {b1 , b2 } mit b1 =
b2 = −1 betrachtet. Die Transformationsmatrix zum Wechsel von B nach E ist also
1
−1 −1
B
TE =
.
0
1
−1
0
und
Eine solche Transformationsmatrix wird ihrem Namen tats¨
achlich gerecht:

µ1
 
2.6.4 Satz Sei v =  ...  die Koordinatendarstellung von v bez¨
uglich einer Basis B und sei

µn
B


v1
 
uglich der Basis aus Einheitsvektoren. Dann ist
v =  ...  die Darstellung dieses Vektor bez¨
vn

 
µ1
v1
 .. 
B  .. 
 .  = TE ·  .  .
vn
µn

2.6.5 Beispiel Betrachten
wir
wieder die Basis B aus Beispiel 2.6.3. Nehmen wir an, der Vektor
1
v hat die Darstellung v =
bez¨
uglich dieser Basis. Die Transformationsmatrix TEB haben wir
2 B
bereits in Beispiel 2.6.3 berechnet. Damit hat v bez¨
uglich der Matrix aus Einheitsvektoren die
Darstellung
1
1
−3
−1 −1
v = TEB ·
·
=
=
.
0
1
2
2
2
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2.6
Kennen wir die Darstellung eines Vektors bez¨
uglich einer Basis, ist es also sehr einfach, die Darstellung bez¨
uglich der Basis aus Einheitsvektoren zu berechnen. Wie wechseln wir aber umgekehrt
von der Basis aus Einheitsvektoren zu einer anderen Basis ?
2.6.6 Satz Sei E die Basis des Rn aus Einheitsvektoren und sei B eine weitere Basis. Dann ist
die Transformationsmatrix TEB invertierbar und die Transformationsmatrix zum Basiswechsel von
E nach B ist
−1
TBE = TEB
.
2.6.7 Beispiel Betrachten wir den Vektor v =
aus den obigen Beispielen. Wir berechnen TBE
−1 −1
0
1
−1 0
0 1
1 0
0 1
1
0
1
0
−1
0
0
1
1
1
−1
1
−3
2
bez¨
uglich der Basis E und die Basis B
−1 −1
:
durch Invertieren von TEB =
0
1
1-fache 2. Zeile zu 1. Zeile addieren
1. Zeile mit (−1) multiplizieren
−1 −1
(die Matrix ist also zu sich selbst invers), wir k¨
onnen also
Also ist
=
=
0
1
die Darstellung von v bez¨
uglich B bestimmen:
−1
−3
−3
1
−1 −1
.
·
·
=
=
v = TEB
0
1
2
2
2 B
TBE
−1
TEB
Nat¨
urlich k¨
onnen wir nicht nur von B zu E oder von E nach B wechseln, auch Transformationen
zwischen zwei schiefwinkligen Koordinatensystemen sind m¨
oglich: Wollen wir beispielsweise von
einer Basis B zu einer Basis C wechseln, so wechseln wir zuerst von B nach E und anschließend
von E nach C. Die entsprechende Transformationsmatrix erhalten wir durch Multiplikation:
−1 B
TCB = TCE · TEB = TEC
· TE .
2.6.8 Beispiel Betrachten wir die Basen B = {b1 , b2 , b3 } und C = {c1 , c2 , c3 } mit
 
 
 
1
3
2
b1 = 0 , b2 = 1 , b3 = 1
2
0
1
 
 
 
1
0
1
c1 = 0 , c2 = 1 , c3 = 1 .
1
1
0
Wir haben also
TEB
und
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TCE

1
= 0
2

1
= 0
1

3 2
1 1
0 1
−1

1
0 1
1
1 1 = · · · = −1
2
1
1 0
25
−1
1
1

1
1
−1
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2.7
¨
(rechnen Sie das zur Ubung
einmal nach). Damit ist dann
 



1 3 2
1 −1 1
3
2
1
1
−1
1  · 0 1 1 =  1 −2
TCB = TEC
· TEB = −1 1
2
2
1
1 −1
−1 4
2 0 1
 
2
uglich B, dann ist bez¨
uglich C
Ist v = −1 bez¨
3 B
 
  

   
2
5
2
3
2 2
10
1
1
v = TCB · −1 =  1 −2 0 · −1 =  4  = 2
2
2
3
0 C
3
−1 4 2
0
2.7

2
0 .
2
.
Der metrische Tensor
In der Praxis wird zur einfacheren Umrechnung bei Basistransformationen nicht nur die Transformationsmatrix benutzt.
oßte Rolle spielt) mit einer Basis B =
Betrachten wir den R3 (da dies in Anwendungen die gr¨
{a, b, c}. Die zugeh¨
orige Transformationsmatrix f¨
ur den Wechsel von diesem Koordinatensystem
in das kartesische nennen wir zur Abk¨
urzung einfach M :


a 1 b1 c 1
M = TEB = a b c = a2 b2 c2  .
a 3 b3 c 3
Seien vB und w
B die Darstellungen zweier Vektoren bez¨
uglich B, dann erhalten wir die Darstellungen bez¨
uglich E durch
vE = M · vB
und
w
E = M · w
B .
Schauen wir uns nun einmal das Skalarprodukt dieser beiden Vektoren an. Wie wir in Bemerkung 2.3.4 gesehen haben, ist das Skalarprodukt v · w
nichts anderes als das Matrixprodukt v T · w.
Wir haben also unter Verwendung von Satz 2.3.3(2)
T
T
T
T
·w
E = (MvB ) · M w
B = vB
· MT M · w
B = vB
·G·w
B ,
vE
wenn wir G = M T M abk¨
urzen.
2.7.1 Satz Ist M = TEB die Transformationsmatrix zum Basiswechsel von B nach E, dann heißt
G = M T M metrischer Tensor und es gilt f¨
ur das Skalarprodukt
T
vE · w
E = vB
·G·w
B .
Nat¨
urlich kann man G als Produkt M T M ausrechnen. Es geht aber auch einfacher:



a1 a2 a3
a 1 b1 c 1
G = M T M =  b 1 b 2 b 3  a 2 b 2 c 2 
c1 c2 c3
a 3 b3 c 3


a 1 a 1 + a 2 a 2 + a 3 a 3 a 1 b1 + a 2 b2 + a 3 b3 a 1 c 1 + a 2 c 2 + a 3 c 3
=  b1 a 1 + b2 a 2 + b3 a 3 b 1 b 1 + b2 b2 + b3 b 3 b 1 c 1 + b2 c 2 + b 3 c 3 
c 1 a 1 + c 2 a 2 + c 3 a 3 c 1 b1 + c 2 b2 + c 3 b 3 c 1 c 1 + c 2 c 2 + c 3 c 3


a · a a · b a · c


= a · b b · b b · c 
a · c b · c c · c
Der metrische Tensor G ist also also die Matrix der Skalarprodukte der Basisvektoren.
Dr. Peter J. Bauer
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(5)
Mathematik f¨
ur Naturwissenschaftler II
2.8
Ist α = ∢(b, c), β= ∢(a, c) und γ = ∢(a, b), k¨
onnen wir eine weitere Darstellung des metrischen
Tensors finden.
Es ist z.B. a · a = a2 (Satz 1.3.5) und nach der Winkeldefinition 1.4.1 ist beispielsweise a · b =
ab cos γ. Aus (5) erhalten wir damit


a2
ab cos γ ac cos β


G = ab cos γ
bc cos α 
b2
ac cos β bc cos α
c2
Mit diesen Darstellungen des metrischen Tensors G k¨
onnen wir also das Skalarprodukt zweier
Vektoren bez¨
uglich der Basis aus Einheitsvektoren ausrechnen, ohne die Vektoren erst in diese
Basis umrechnen zu m¨
ussen.
Auch das Volumen V des Spats, der von den drei Basisvektoren a, b und c aufgespannt wird, kann
mittels des metrischen Tensors berechnet werden.
Unter Verwendung der Sarrus-Regel ist
  

a1
b 2 c 3 − b3 c 2
a · (b × c) = a2  · b3 c1 − b1 c3 
a3
b 1 c 2 − b2 c 1
= a 1 b 2 c 3 − a 1 b 3 c 2 + a 2 b3 c 1 − a 2 b 1 c 3 + a 3 b 1 c 2 − a 3 b 2 c 1
= a 1 b 2 c 3 + b1 c 2 a 3 + c 1 a 2 b3 − a 3 b2 c 1 − b3 c 2 a 1 − c 3 a 2 b1
a 1 b1 c 1 = a2 b2 c2 a 3 b3 c 3 = det M ,
also V = |a · (b × c)| = | det M |.
Daraus folgt
wir haben also
det G = det M T M = det M T · det M = (det M )2 = V 2 ,
V =
2.8
√
det G .
Lineare Gleichungssysteme l¨
osen
Wir erinnern uns: eigentlich wollten wir lineare Gleichungssysteme l¨
osen und haben Matrizen als
abk¨
urzende Schreibweisen f¨
ur diese Gleichungssysteme kennen gelernt. Benutzen wir jetzt unsere
Kenntnisse u
unglichen Ziel zu widmen.
¨ber Matrizen, um uns wieder dem urspr¨
Ein lineares Gleichungssystem
a11 x1 + a12 x2 + · · · + a1n xn = y1
a21 x1 + a22 x2 + · · · + a2n xn = y2
..
.
am1 x1 + am2 x2 + · · · + amn xn = ym .
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Mathematik f¨
ur Naturwissenschaftler II
mit m Gleichungen und n Unbekannten

a11 a12
 a21 a22

 ..
..
 .
.
am1
am2
2.8
k¨
onnen wir auch als Matrixprodukt schreiben:

   
· · · a1n
x
y

· · · a2n   .1   .1 
..  ·  ..  =  .. 
..
.
. 
xn
ym
· · · amn
Ist A eine (m, n)-Matrix, x ∈ Rn und y ∈ Rm , dann ist also
Ax = y
ein lineares Gleichungssystem mit m Gleichungen und n Unbekannten.
2.8.1 Beispiel
⇔
⇔
x1
1
2 −1
·
=
1 3
x2
2
1
2x1 − x2
=
x1 + 3x2
2
und
2x1 − x2 = 1
x1 + 3x2 = 2
2.8.2 Bezeichnungen (1) Ist m = n, dann heißt das Gleichungssystem quadratisch (A ist
dann auch quadratisch).
(2)
Ist y = 0, also y1 = y2 = · · · ym = 0, nennt man das Gleichungssystem homogen, ansonsten
inhomogen.
2.8.3 Beispiele (1)
x1 − x2 = 0
2x1 − 2x2 = 1
⇔
1 −1
2 −2
x1
0
=
x2
1
ist inhomogen und quadratisch.
Schauen wir uns die erste Gleichung n¨
aher an: x1 − x2 = 0 ⇔ 2x1 − 2x2 = 0 und das
steht in Widerspruch zur zweiten Gleichung. Das Gleichungssystem kann also keine L¨
osung
haben.
(2)
x1 − x2 = 0
2x1 − 2x2 = 0
⇔
1 −1
2 −2
x1
0
=
0
x2
ist homogen und quadratisch
onnen,
hat,
wie
wir durch Einsetzen leicht nachrechnen k¨
und
0
1
2
x1
=
,
,
,...
mehrere L¨
osungen:
0
1
2
x2
x1
Tats¨
achlich ist jeder Vektor
mit x1 = x2 eine L¨
osung des Systems.
x2
Ein lineares Gleichungssystem muss also nicht eindeutig l¨
osbar sein, es kann auch keine oder
mehrere L¨
osungen geben. Bei homogenen Systemen ist eine L¨
osung aber offensichtlich immer zu
finden:
2.8.4 Satz Ein homogenes Gleichungssystem Ax = 0 hat stets die L¨
osung x = 0.
x1 = x2 = . . . = xn = 0 ist also immer (eine) L¨
osung des Gleichungssystems.
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