Mathematik f¨ ur Naturwissenschaftler II 1 −1 2.5.5 Beispiel Betrachten wir A = 3 0 2.5 2 0 2 1 0 2 0 7 3 1 . 2 1 + 1 − − 1 Mit Vorzeichenschachbrett versehen haben wir + 3 − 0 2 + 0 − 2 + 1 − + 0 − 2 + 0 − 7 3 + 1 − . 2 + 1 − Da die dritte Spalte zwei Nullen enth¨ alt, entwickeln wir nach dieser Spalte und erhalten (die Vorzeichen entnehmen wir dem Schachbrett) det A = +0 · |A13 |−2 · |A23 |+0 · |A33 |−7 · |A43 | 1 2 3 1 2 3 = −2 3 2 2 − 7 −1 0 1 0 1 1 3 2 2 = −2 (2 + 0 + 9 − 0 − 2 − 6) − 7 (0 + 6 + (−6) − 0 − 2 − (−4)) = −2 · 3 − 7 · 2 = −20 . Wir k¨onnten nat¨ urlich auch nach einer anderen Spalte oder Zeile entwicklen, dann w¨ urden aber weniger Summanden wegfallen und wir h¨atten mehr Arbeit. So brauchen wir nur zwei Determinanten mit der Sarrus-Regel berechnen. 2.5.6 Satz Seien A, B quadratische Matrizen und E eine Einheitsmatrix. Dann gilt: (1) det(AT ) = det A (2) det(A · B) = det A · det B (3) det E = 1 (4) Ist A invertierbar, dann ist det(A−1 ) = (5) Ist eine gesamte Zeile oder Spalte in A gleich Null, dann ist det A = 0. 1 . det A 2.5.7 Bemerkung Im Allgemeinen gilt nicht det(A + B) = det A + det B. Wir waren auf der Suche nach einer Technik, entscheiden zu k¨ onnen, ob eine Matrix invertierbar ist oder nicht. Tats¨ achlich erlauben Determinanten diese Unterscheidung: 2.5.8 Satz Eine quadratische Matrix A ist genau dann invertierbar, wenn det A = 0. Eine Folgerung aus diesem Ergebnis ist wegen Satz 2.4.10: 2.5.9 Satz Die Zeilenvektoren bzw. Spaltenvektoren einer Matrix A sind genau dann linear unabh¨ angig, wenn det A = 0. Damit haben wir auch ein recht bequemes Verfahren gefunden, Vektoren auf ihre lineare Unabh¨ angigkeit zu pr¨ ufen. Dr. Peter J. Bauer SS 15 — 8. Mai 2015 Rev: 5185 22 Mathematik f¨ ur Naturwissenschaftler II 2.6 Um die Inverse einer Matrix zu berechnen, k¨ onnen wir bekanntlich die elementaren Zeilen- bzw. Spaltenoperationen (Def. 2.4.5) verwenden. Wie ver¨ andert sich die Determinante unter diesen Operationen ? 2.5.10 Satz Sei A eine quadratische Matrix. Entsteht die Matrix B aus A durch . . . (1) Multiplikation einer Zeile/Spalte mit einer Konstanten λ = 0, dann gilt det B = λ · det A. (2) Vertauschung zweier Zeilen/Spalten, dann gilt det B = − det A. (3) Addition des Vielfachen einer Zeile/Spalte zu einer anderen, dann gilt det B = det A. Dieses Wissen k¨ onnen wir auch zur Berechnung von Determinanten nutzen. Betrachten wir eine spezielle Form von Matrizen: 2.5.11 Definition Eine quadratische Matrix A = (aik ) ist eine . . . (1) ur i < k, untere Dreiecksmatrix, wenn aik = 0 f¨ (2) obere Dreiecksmatrix, wenn aik = 0 f¨ ur i > k und (3) ur i = k. Diagonalmatrix, wenn aik = 0 f¨ 2.5.12 2 0 0 1 0 0 2 1 0 3 0 −1 4 2 Beispiele 0 0 0 1 ist eine obere Dreiecksmatrix, 0 0 0 1 0 0 ist eine Diagonalmatrix (und damit auch eine obere und eine untere Dreiecksmatrix). 3 2.5.13 Satz Sei A = (aik ) eine (n, n)-Dreiecksmatrix. dann gilt det A = a11 a22 · · · ann . Damit (und mit den elementaren Zeilen-/Spaltenoperationen) k¨ onnen wir nun Determinanten berechnen: 2.5.14 Beispiel 0 0 3 2 1 −4 0 3 −1 0 0 0 2.6 2 0 0 0 = − 0 −1 0 −1 1 −4 0 3 3 −1 0 0 2 0 0 0 = + 0 −1 0 −1 1 −4 3 −1 0 3 0 0 0 −1 = 2 · 3 · 3 · (−1) = −18 0 −1 Basistransformation Wie wir nach Definition 1.7.10 wissen, k¨ onnen Vektoren bez¨ uglich verschiedener Basen dargestellt werden. Normalerweise verwenden wir die Basis aus Einheitsvektoren, die einem kartesischen Koordinatensystem entspricht. Dort entspricht die z.B. Norm eines Vektors auch dem, was wir uns unter seiner L¨ ange vorstellen (vgl. Bemerkung 1.2.3). Dr. Peter J. Bauer SS 15 — 8. Mai 2015 Rev: 5185 23 Mathematik f¨ ur Naturwissenschaftler II 2.6 In manchen Situationen ist es aber sinnvoll, auch andere Basen zu betrachten. Kristallgitter sind beispielsweise oft nicht rechtwinklig ausgerichtet. Hier ist dann ein entsprechendes schiefwinkliges Koordinatensystem zweckm¨ aßiger. Nat¨ urlich ben¨ otigen wir eine m¨ oglichst einfache Technik, zwischen den verschiedenen Basen zu wechseln, d.h. die Darstellung eines Vektors bez¨ uglich einer Basis in die Darstellung bez¨ uglich einer anderen Basis umzurechnen. Dies wird Basistransformation oder Basiswechsel genannt. 2.6.1 Definition Sei E = {e1 , . . . , en } die Basis des Rn aus Einheitsvektoren und sei B = {b1 , . . . , bn } eine weitere Basis des Rn . b1k b2k Sei bk = . f¨ ur k = 1, . . . , n, dann ist .. bnk b11 · · · b1n .. .. TEB = ... . . bn1 ··· bnn die Transformationsmatrix zum Basiswechsel von B nach E. 2.6.2 Bemerkung TEB ist die Matrix, deren Spalten gerade die B-Basisvektoren bilden: TEB = b1 b2 . . . bn 2.6.3 Beispiel In Beispiel 1.7.12 hatten wir bereits die Basis B = {b1 , b2 } mit b1 = b2 = −1 betrachtet. Die Transformationsmatrix zum Wechsel von B nach E ist also 1 −1 −1 B TE = . 0 1 −1 0 und Eine solche Transformationsmatrix wird ihrem Namen tats¨ achlich gerecht: µ1 2.6.4 Satz Sei v = ... die Koordinatendarstellung von v bez¨ uglich einer Basis B und sei µn B v1 uglich der Basis aus Einheitsvektoren. Dann ist v = ... die Darstellung dieses Vektor bez¨ vn µ1 v1 .. B .. . = TE · . . vn µn 2.6.5 Beispiel Betrachten wir wieder die Basis B aus Beispiel 2.6.3. Nehmen wir an, der Vektor 1 v hat die Darstellung v = bez¨ uglich dieser Basis. Die Transformationsmatrix TEB haben wir 2 B bereits in Beispiel 2.6.3 berechnet. Damit hat v bez¨ uglich der Matrix aus Einheitsvektoren die Darstellung 1 1 −3 −1 −1 v = TEB · · = = . 0 1 2 2 2 Dr. Peter J. Bauer SS 15 — 8. Mai 2015 Rev: 5185 24 Mathematik f¨ ur Naturwissenschaftler II 2.6 Kennen wir die Darstellung eines Vektors bez¨ uglich einer Basis, ist es also sehr einfach, die Darstellung bez¨ uglich der Basis aus Einheitsvektoren zu berechnen. Wie wechseln wir aber umgekehrt von der Basis aus Einheitsvektoren zu einer anderen Basis ? 2.6.6 Satz Sei E die Basis des Rn aus Einheitsvektoren und sei B eine weitere Basis. Dann ist die Transformationsmatrix TEB invertierbar und die Transformationsmatrix zum Basiswechsel von E nach B ist −1 TBE = TEB . 2.6.7 Beispiel Betrachten wir den Vektor v = aus den obigen Beispielen. Wir berechnen TBE −1 −1 0 1 −1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 −1 0 0 1 1 1 −1 1 −3 2 bez¨ uglich der Basis E und die Basis B −1 −1 : durch Invertieren von TEB = 0 1 1-fache 2. Zeile zu 1. Zeile addieren 1. Zeile mit (−1) multiplizieren −1 −1 (die Matrix ist also zu sich selbst invers), wir k¨ onnen also Also ist = = 0 1 die Darstellung von v bez¨ uglich B bestimmen: −1 −3 −3 1 −1 −1 . · · = = v = TEB 0 1 2 2 2 B TBE −1 TEB Nat¨ urlich k¨ onnen wir nicht nur von B zu E oder von E nach B wechseln, auch Transformationen zwischen zwei schiefwinkligen Koordinatensystemen sind m¨ oglich: Wollen wir beispielsweise von einer Basis B zu einer Basis C wechseln, so wechseln wir zuerst von B nach E und anschließend von E nach C. Die entsprechende Transformationsmatrix erhalten wir durch Multiplikation: −1 B TCB = TCE · TEB = TEC · TE . 2.6.8 Beispiel Betrachten wir die Basen B = {b1 , b2 , b3 } und C = {c1 , c2 , c3 } mit 1 3 2 b1 = 0 , b2 = 1 , b3 = 1 2 0 1 1 0 1 c1 = 0 , c2 = 1 , c3 = 1 . 1 1 0 Wir haben also TEB und Dr. Peter J. Bauer SS 15 — 8. Mai 2015 Rev: 5185 TCE 1 = 0 2 1 = 0 1 3 2 1 1 0 1 −1 1 0 1 1 1 1 = · · · = −1 2 1 1 0 25 −1 1 1 1 1 −1 Mathematik f¨ ur Naturwissenschaftler II 2.7 ¨ (rechnen Sie das zur Ubung einmal nach). Damit ist dann 1 3 2 1 −1 1 3 2 1 1 −1 1 · 0 1 1 = 1 −2 TCB = TEC · TEB = −1 1 2 2 1 1 −1 −1 4 2 0 1 2 uglich B, dann ist bez¨ uglich C Ist v = −1 bez¨ 3 B 2 5 2 3 2 2 10 1 1 v = TCB · −1 = 1 −2 0 · −1 = 4 = 2 2 2 3 0 C 3 −1 4 2 0 2.7 2 0 . 2 . Der metrische Tensor In der Praxis wird zur einfacheren Umrechnung bei Basistransformationen nicht nur die Transformationsmatrix benutzt. oßte Rolle spielt) mit einer Basis B = Betrachten wir den R3 (da dies in Anwendungen die gr¨ {a, b, c}. Die zugeh¨ orige Transformationsmatrix f¨ ur den Wechsel von diesem Koordinatensystem in das kartesische nennen wir zur Abk¨ urzung einfach M : a 1 b1 c 1 M = TEB = a b c = a2 b2 c2 . a 3 b3 c 3 Seien vB und w B die Darstellungen zweier Vektoren bez¨ uglich B, dann erhalten wir die Darstellungen bez¨ uglich E durch vE = M · vB und w E = M · w B . Schauen wir uns nun einmal das Skalarprodukt dieser beiden Vektoren an. Wie wir in Bemerkung 2.3.4 gesehen haben, ist das Skalarprodukt v · w nichts anderes als das Matrixprodukt v T · w. Wir haben also unter Verwendung von Satz 2.3.3(2) T T T T ·w E = (MvB ) · M w B = vB · MT M · w B = vB ·G·w B , vE wenn wir G = M T M abk¨ urzen. 2.7.1 Satz Ist M = TEB die Transformationsmatrix zum Basiswechsel von B nach E, dann heißt G = M T M metrischer Tensor und es gilt f¨ ur das Skalarprodukt T vE · w E = vB ·G·w B . Nat¨ urlich kann man G als Produkt M T M ausrechnen. Es geht aber auch einfacher: a1 a2 a3 a 1 b1 c 1 G = M T M = b 1 b 2 b 3 a 2 b 2 c 2 c1 c2 c3 a 3 b3 c 3 a 1 a 1 + a 2 a 2 + a 3 a 3 a 1 b1 + a 2 b2 + a 3 b3 a 1 c 1 + a 2 c 2 + a 3 c 3 = b1 a 1 + b2 a 2 + b3 a 3 b 1 b 1 + b2 b2 + b3 b 3 b 1 c 1 + b2 c 2 + b 3 c 3 c 1 a 1 + c 2 a 2 + c 3 a 3 c 1 b1 + c 2 b2 + c 3 b 3 c 1 c 1 + c 2 c 2 + c 3 c 3 a · a a · b a · c = a · b b · b b · c a · c b · c c · c Der metrische Tensor G ist also also die Matrix der Skalarprodukte der Basisvektoren. Dr. Peter J. Bauer SS 15 — 8. Mai 2015 Rev: 5185 26 (5) Mathematik f¨ ur Naturwissenschaftler II 2.8 Ist α = ∢(b, c), β= ∢(a, c) und γ = ∢(a, b), k¨ onnen wir eine weitere Darstellung des metrischen Tensors finden. Es ist z.B. a · a = a2 (Satz 1.3.5) und nach der Winkeldefinition 1.4.1 ist beispielsweise a · b = ab cos γ. Aus (5) erhalten wir damit a2 ab cos γ ac cos β G = ab cos γ bc cos α b2 ac cos β bc cos α c2 Mit diesen Darstellungen des metrischen Tensors G k¨ onnen wir also das Skalarprodukt zweier Vektoren bez¨ uglich der Basis aus Einheitsvektoren ausrechnen, ohne die Vektoren erst in diese Basis umrechnen zu m¨ ussen. Auch das Volumen V des Spats, der von den drei Basisvektoren a, b und c aufgespannt wird, kann mittels des metrischen Tensors berechnet werden. Unter Verwendung der Sarrus-Regel ist a1 b 2 c 3 − b3 c 2 a · (b × c) = a2 · b3 c1 − b1 c3 a3 b 1 c 2 − b2 c 1 = a 1 b 2 c 3 − a 1 b 3 c 2 + a 2 b3 c 1 − a 2 b 1 c 3 + a 3 b 1 c 2 − a 3 b 2 c 1 = a 1 b 2 c 3 + b1 c 2 a 3 + c 1 a 2 b3 − a 3 b2 c 1 − b3 c 2 a 1 − c 3 a 2 b1 a 1 b1 c 1 = a2 b2 c2 a 3 b3 c 3 = det M , also V = |a · (b × c)| = | det M |. Daraus folgt wir haben also det G = det M T M = det M T · det M = (det M )2 = V 2 , V = 2.8 √ det G . Lineare Gleichungssysteme l¨ osen Wir erinnern uns: eigentlich wollten wir lineare Gleichungssysteme l¨ osen und haben Matrizen als abk¨ urzende Schreibweisen f¨ ur diese Gleichungssysteme kennen gelernt. Benutzen wir jetzt unsere Kenntnisse u unglichen Ziel zu widmen. ¨ber Matrizen, um uns wieder dem urspr¨ Ein lineares Gleichungssystem a11 x1 + a12 x2 + · · · + a1n xn = y1 a21 x1 + a22 x2 + · · · + a2n xn = y2 .. . am1 x1 + am2 x2 + · · · + amn xn = ym . Dr. Peter J. Bauer SS 15 — 8. Mai 2015 Rev: 5185 27 Mathematik f¨ ur Naturwissenschaftler II mit m Gleichungen und n Unbekannten a11 a12 a21 a22 .. .. . . am1 am2 2.8 k¨ onnen wir auch als Matrixprodukt schreiben: · · · a1n x y · · · a2n .1 .1 .. · .. = .. .. . . xn ym · · · amn Ist A eine (m, n)-Matrix, x ∈ Rn und y ∈ Rm , dann ist also Ax = y ein lineares Gleichungssystem mit m Gleichungen und n Unbekannten. 2.8.1 Beispiel ⇔ ⇔ x1 1 2 −1 · = 1 3 x2 2 1 2x1 − x2 = x1 + 3x2 2 und 2x1 − x2 = 1 x1 + 3x2 = 2 2.8.2 Bezeichnungen (1) Ist m = n, dann heißt das Gleichungssystem quadratisch (A ist dann auch quadratisch). (2) Ist y = 0, also y1 = y2 = · · · ym = 0, nennt man das Gleichungssystem homogen, ansonsten inhomogen. 2.8.3 Beispiele (1) x1 − x2 = 0 2x1 − 2x2 = 1 ⇔ 1 −1 2 −2 x1 0 = x2 1 ist inhomogen und quadratisch. Schauen wir uns die erste Gleichung n¨ aher an: x1 − x2 = 0 ⇔ 2x1 − 2x2 = 0 und das steht in Widerspruch zur zweiten Gleichung. Das Gleichungssystem kann also keine L¨ osung haben. (2) x1 − x2 = 0 2x1 − 2x2 = 0 ⇔ 1 −1 2 −2 x1 0 = 0 x2 ist homogen und quadratisch onnen, hat, wie wir durch Einsetzen leicht nachrechnen k¨ und 0 1 2 x1 = , , ,... mehrere L¨ osungen: 0 1 2 x2 x1 Tats¨ achlich ist jeder Vektor mit x1 = x2 eine L¨ osung des Systems. x2 Ein lineares Gleichungssystem muss also nicht eindeutig l¨ osbar sein, es kann auch keine oder mehrere L¨ osungen geben. Bei homogenen Systemen ist eine L¨ osung aber offensichtlich immer zu finden: 2.8.4 Satz Ein homogenes Gleichungssystem Ax = 0 hat stets die L¨ osung x = 0. x1 = x2 = . . . = xn = 0 ist also immer (eine) L¨ osung des Gleichungssystems. Dr. Peter J. Bauer SS 15 — 8. Mai 2015 Rev: 5185 28
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