Mecanique MPSI revision - MP*1

MP*1- 2014/2015
Révision de mécanique
Relation fondamentale de la dynamique
1) Portée d’un missile mer-mer :
Un missile de masse , de volume , est tiré d’un sous-marin en plongée à une
profondeur , avec une vitesse ⃗ faisant un
angle avec l’horizontale. La masse volumique
de l’eau est notée . On néglige le frottement de
l’air. Le frottement dans l’eau est modélisé par
la force ⃗
⃗ où est une constante
positive. Déterminer la portée R du missile en
admettant que celui-ci est « pesé », c’est-à-dire
y
h
x
et en supposant que le missile a une phase hors de l’eau.
que
2) Ressort à excitation périodique :
On accroche une masse m à un ressort vertical
L’extrémité supérieure du ressort est
accroché à un vibreur qui change périodiquement d’ordonnée. L’axe vertical, , est un axe
descendant.
On donne
]
(
)
[
]
[
On prend
où est la période propre du ressort.
[. Donner
1) Etudier le mouvement dans ]
et ̇
. On prendra
et ̇
.
[. Montrer que l’amplitude des oscillations augmente et
2) Mouvement dans ]
donner
.
3) Quels phénomènes physiques, ici négligés, limitent en réalité les oscillations.
3) Mouvement d’un point matériel lié à un ressort :
.
Le point de masse est astreint à se déplacer sans frottements sur l’axe horizontal
y
est fixe. La longueur du ressort à vide est
A
1) Etudier l’équilibre de
(positions,
2) Etudier le mouvement de
d’une position d’équilibre stable.
au voisinage
stabilités )
x
M
4) Système de deux points matériels :
Deux points matériels A et B, de masses respectives
et
(
) sont astreints à se déplacer sans frottements sur une droite formant un angle de 30° avec
l'horizontale. Ils sont reliés par un ressort de longueur à vide et de constante de raideur k.
1) Le point A étant fixé en O, déterminer les
positions d'équilibre de B et la période des petites
oscillations autour de celle-ci.
2) Le système étant à l'équilibre, on libère le
point A sans vitesse initiale, déterminer
.
3) Calculer l'énergie mécanique totale du système.
o
30°
A
B
5) Masse au bout d'un fil s'enroulant sur un cylindre:
Sur un cylindre de centre O et de rayon a s'enroule un fil inextensible et sans masse, à
l'extrémité duquel est suspendue une masse ponctuelle m.
A l'instant initial
, le fil est tendu et la masse m possède
y
O
A
une vitesse perpendiculaire au fil et à l'axe du cylindre.
 
On considère g  0 .
Caractériser le mouvement de la masse , et donner la valeur, à
chaque instant, de la tension de la corde.
M
x
Théorème de l’énergie cinétique
6) Un pendule pesant pas si simple :
On considère deux masses
accrochées en A et B à une tige sans masse de
peut
A ,m
coulisser sans frottements sur l’axe horizontal d’une table.
Etude du mouvement ? On supposera les angles
petits.
B,M
longueur L. Les liaisons sont parfaites. La masse
7) Point matériel sur un cône:
Un point matériel de masse peut se déplacer sans frottements sur une surface
conique d’axe vertical et de demi-angle au sommet .
Etudier les différents mouvements possibles (liés ou états de diffusion) selon la valeur
de l’énergie initiale du point matériel.
Forces centrales
8) Etude de la mission Skylab :
La station spatiale Skylab est mise en orbite le 14 mai 1973. Sa masse est de
et
elle décrit une orbite circulaire autour de la Terre, de masse
et de rayon
.
1) L’altitude de la station est de
. Quelle est sa période ?
2) L’intensité inattendue de l’activité solaire dégrade plus rapidement que prévu
l'orbite de la station spatiale qui se désintègre en rentrant dans l’atmosphère le 11 juillet 1979.
Lors de sa entrée dans l’atmosphère, les couches raréfiées de celle-ci induisent une force de
frottement
où k est une constante.
Déterminer l’équation différentielle d’évolution du moment cinétique ⃗ . En déduire
qua la trajectoire est plane.
⃗
3) Le frottement étant faible, montrer que ⃗
en précisant la valeur de .
Le temps étant assez grand devant la période de la station, on admettra que la trajectoire est
un cercle dont le rayon varie lentement avec le temps. En déduire
où est le
rayon de la trajectoire avant frottement.
4) Lors la mission Skylab, l’altitude de la station a diminué de
par jour. En
déduire l’ordre de grandeur de . Donner la relation d’évolution de la vitesse en fonction de
sa vitesse avant frottement, et . Commenter ce résultat. Evaluer numériquement la perte
d’énergie sur un tour au début de la chute.
5) En admettant que cette énergie sert à échauffer le nez de la station en surface, soit
une masse de
, de chaleur massique
, déterminer l’augmentation de la
température sur un tour. Commenter.
9) Orbite de transfert géostationnnaire :
Une fusée amène un satellite sur une trajectoire circulaire d’altitude
située dans le plan équatorial. On veut transférer le satellite sur une orbite géostationnaire.
A cet effet on donne au satellite un accroissement instantané de vitesse
qui
l’amène sur une orbite elliptique de transfert. Un deuxième accroissement de vitesse
est
alors nécessaire pour le caler sur son orbite géostationnaire.
1) Déterminer le rapport .
Indication : Pour une trajectoire elliptique, l’énergie mécanique est la même que celle du
trajectoire circulaire dont le demi grand axe serait le rayon.
2) Faire l’application numérique avec:
.
Commenter le résultat
Remarque : Cela est généralement assuré par un moteur-fusée à ergols solides ou liquides
intégré au satellite (moteur d'apogée). Cette orbite est très encombrée de débris spatiaux, dont
les derniers étages des lanceurs.
Système de masse variable :
10) Chute d’une goutte d’eau  :
Une goutte d’eau sphérique tombe dans une atmosphère chargée d’humidité : son
volume s’accroit selon la loi : dV  .S.v.dt où  est une constante et S la surface de la
goutte à l’instant . A l’instant
, le rayon de la goutte est .
On choisit un axe des orienté vers la verticale descendante et on appelle
le
rayon de la goutte à un instant , z(t) sa position et ̇
sa vitesse. Montrer qu’on obtient
l’équation différentielle suivante : ̈

̇

. Quelles hypothèses simplificatrices
ont été faites ? Quel modèle proposez-vous pour trouver la loi d’accroissement proposée ?
La solution de l’équation différentielle donne : ̇
(
)

(

(
)

)
. Montrer
qu’au bout d’un temps assez long, l’accélération de la goutte devient constante.
Solide en translation :
11) Machine d’Atwood :
Atwood réalisa au XIX siècle un système pédagogique pour illustrer les lois de la
mécanique. On considère une poulie, de rayon , de masse , de
moment d’inertie par rapport à un axe passant par son centre qui
tourne sans frottements par rapport à son axe. Sur cette poulie deux
masse et
sont reliées par un fil sans masse. Quand on laisse le
système évoluer, quelle est l’accélération des deux masses ?
La chute libre est difficile à étudier quantitativement, car les temps
de parcours sont très courts. Galilée est le premier à chercher
comment la ralentir, sans la « dénaturer » : il pensa au plan incliné
O
m
m’
z
d'angle α, puis à la succession de plans inclinés. La difficulté pour Galilée
restait la mesure du temps…Atwood proposa « sa » machine pour diminuer l'accélération des
masses, au mieux.
Solide en rotation autour d’un axe fixe :
12) Le projet MOSE 
Le Projet MOSE (acronyme de MOdulo Sperimentale Elettromeccanico, « module
expérimental électromécanique ») est un ouvrage en cours de réalisation qui prévoit un
système intégré de défense formé de rangées de vannes mobiles escamotables permettant
d’isoler la lagune de Venise de la mer Adriatique durant les phénomènes de hautes marées.
On se propose de modéliser la vanne par un cylindre creux, initialement vertical. Il est
maintenu au sol en O par une liaison parfaite qui assure une rotation sans frottement. A tout
instante t une partie du cylindre est émergée.
z
cylindre

O
mer
H
sol
Y a-t-il des positions d’équilibre du cylindre et si oui sont-elles stables ?
On donne : , la masse du cylindre, son rayon et sa longueur. La masse volumique du
fluide est µ et on négligera la poussée d’Archimède de l’atmosphère.
13) Mouvement d’un plongeur :
On considère un plongeur, modélisé par une tige indéformable, de masse
,
de longueur
. Ce plongeur est sur un
y
T
plongeoir horizontal, situé à une hauteur
de la
surface de l'eau. On suppose que les pieds du plongeur
P
x
⃗
⃗,
subissent une réaction de la part du plongeoir ⃗
la réaction ⃗ étant perpendiculaire au plongeoir et la
réaction ⃗ tangentielle au plongeoir.
Pour quelle valeur de l'angle  le plongeur
décolle-t-il du plongeoir s'il ne prend aucun élan? On donne le moment d’inertie du plongeur
par rapport à un axe
:
.
Indications :
1) Portée d’un missile mer-mer :
1) Il faut remarquer que dans l’eau la trajectoire du missile reste rectiligne. Calculer
dans
l’eau. Le missile quitte l’eau quand
. En déduire les nouvelles conditions initiales
quand le missile quitte l’eau, puis c’est un problème classique de projectiles dans l’air.
2) Ressort à excitation périodique :
1) Commencer par exprimer la condition d’équilibre du ressort. Dans la première phase
exprimer la nouvelle longueur du ressort ; 2) Exprimer les nouvelles conditions initiales au
temps
; pour généraliser, démontrer les relations par récurrence.
3) Mouvement d’un point matériel lié à un ressort :
1) Projeter la force de rappel sur l’axe des ; pour la recherche de la stabilité des positions
d’équilibre, étudier le signe de
; 2) Poser
et faire un D.L. d’ordre 1 de .
4) Système de deux points matériels :
1) Exprimer la condition d’équilibre, puis appliquer la loi de la quantité de mouvement projeté
sur l’axe du ressort ; 2) Appliquer la loi de la quantité de mouvement à chacun des points
matériels et résoudre en posant
et
; 3) Il y a l’énergie potentielle du
ressort et l’énergie potentielle de pesanteur ; l’énergie totale doit être une constante puisque le
système est conservatif.
5) Masse au bout d'un fil s'enroulant sur un cylindre :
En dérivant le vecteur
, trouver l’expression de la vitesse du point
en fonction de
et , puis appliquer le théorème de l’énergie cinétique, le mouvement étant sans
frottements ; pour passer de  2 à  , ne pas oublier de faire une analyse du signe de  ;
appliquer la loi de la quantité de mouvement pour en déduire la tension.
6) Un pendule pesant pas si simple :
Il faut remarquer que le centre d’inertie du système a un mouvement rectiligne sur la
verticale. Choisir l’axe vertical passant par le centre d’inertie comme axe des ; le système
des deux points matériels est conservatifs ; appliquer la conservation de l’énergie mécanique ;
on introduit l’angle entre le pendule et l’axe des et on calcule l’énergie potentielle de
pesanteur et les énergies cinétiques des deux points matériels en fonction de et ̇ .
7) Point matériel sur un cône :
Travailler en coordonnées cylindriques et introduire la relation entre et dans un cône.
Ecrire la loi de la quantité de mouvement et en déduire une relation entre ̇ et . Exprimer la
conservation de l’énergie mécanique et réduire à la seule variable z. Faire alors une étude
graphique avec l’introduction d’une pseudo énergie potentielle.
8) Etude de la mission Skylab :
2) Dériver le moment cinétique par rapport au temps pour obtenir une équation différentielle.
3) Intégrer cette équation et faire une DL. Exprimer le moment cinétique en fonction de
et uniquement.
4) Il faut remarquer que la vitesse de la station augmente et lever ce paradoxe. Exprimer
l’énergie du satellite en fonction de
et uniquement.
9) Orbite de transfert géostationnnaire :
Pour transférer un satellite d’une orbite circulaire à une autre orbite circulaire, il faut que le
satellite emprunte une trajectoire elliptique, de périgée le point P commun à cette trajectoire et
à la trajectoire circulaire de petit rayon et d’apogée le point A commun à cette trajectoire et à
la trajectoire circulaire de plus rayon ; utiliser la conservation de l’énergie mécanique sur une
trajectoire.
10) Chute d’une goutte d’eau :
Trouver la loi de l’évolution du rayon de la goutte en fonction de l’altitude ; appliquer la loi
de la quantité de mouvement à un système fermé constitué de la goutte à l’instant et des
gouttelettes du nuages qui vont accroitre la goutte entre t et
, ces gouttelettes étant
supposées immobiles à l’instant ; en déduire l’équation différentielle en
pour expliquer
la loi d’accrétion on considère comme modèle un nuage de petites gouttes de volume et de
concentration .
11) Machine d’Atwood :
Le fil s’enroule sans glisser sur la poulie ; il faut relier les vitesses de chacune des masses à la
vitesse angulaire de la poulie ; appliquer la conservation de l’énergie mécanique à tout
l’ensemble.
12) Le projet MOSE :
Il faut trouver l’énergie potentielle de la poussée d’Archimède. Pour cela calculer le travail de
la poussée d’Archimède en se plaçant au point O. Pour la stabilité il faut que la dérivée
première de l’énergie potentielle soit nulle et la dérivée seconde positive. On distinguera deux
SH 2
SH 2
 1.
mL
mL
13) Mouvement d’un plongeur :
Appliquer la loi de la quantité de mouvement au plongeur et la conservation de l’énergie
mécanique ; il décolle quand la réaction vaut 0.
cas :
 1 et
Solutions :
1) Portée d’un missile mer-mer :
(
) .
2) Ressort à excitation périodique :
1) Pour ]
[,
√
; 2) Pour ]
[,
√
;
on en déduit si pair
; si pair ( )
; on a négligé les
frottements.
3) Mouvement d’un point matériel lié à un ressort :
1) On a trois positions d’équilibre :
position d’équilibre instable et
√
,
positions d’équilibre stables ; 2) On trouve comme équation du mouvement :
̈
(
)
√
, soit une solution harmonique de période :
(
.
)
4) Système de deux points matériels :
1)
; on trouve un mouvement harmonique, la période des petites
oscillations est
√
[( √ ) ]
; 2)
[( √ ) ]
;
[( √ ) ] ;
3)
;
.
;
5) Masse au bout d'un fil s'enroulant sur un cylindre:



1) v (M )  lo  a u r ; en appliquant le théorème de l’énergie cinétique, v (M )  vo d’où
l o  l o  2vo at
2
 (t ) 
a
;



on applique la loi de la quantité de mouvement T  ma  m 2 (lo  a )u ; T 
2
mvo
;
(l o  a )
tension
T;
2)
si
on
ajoute
le
poids
et
on
calcule
la
2
mvo / lo  2mg  mg sin  /   2(1   / 2 )mg cos 
; pour que le fil reste tendu il faut
T
1   / 2
que T > 0.
6) Un pendule pesant pas si simple :
̇ ;
̇
̇ ;
; pour des petites oscillations on a ̈
√
soit une période
.
7) Point matériel sur un cône :
 2 2
En appliquant la loi due la quantité de mouvement on trouve   2o o ; la conservation
z tan 
4  2
2

z  
mz
 m cos 2   gz  o 2o   Eo cos 2  ; la trajectoire sera
de l’énergie mécanique donne
2
2z 

1/ 3
 g 
 , valeur qui correspond à un minimum de la fonction
circulaire pour z min  
2 
 tan  o 
8) Etude de la mission Skylab :
1)
⃗ ; 3)
√
; 2)
; 4)
⃗
;
station est freinée mais ceci est dû au fait que
⃗ ; mouvement plan car
⃗
.
est parallèle à
; la vitesse augmente alors que la
et
.;
5)
.
9) Orbite de transfert géostationnnaire :
v2
R1  R1  R2  2 R1 

 0.6 .
v1
R2  2 R2  R1  R2 
10) Chute d’une goutte d’eau :
dr
dz
d’où r (t )  Ro  z (t ) puis la loi de la quantité de mouvement donne
 v  
dt
dt
3z 2 (t )
dv
dV
 g ; si on fait l’hypothèse
V
v
 Vg d’où l’équation différentielle : z(t ) 
Ro  z (t )
dt
dt
z  Ro /  on trouve ̈
; on trouve comme loi d’accrétion :
.
11) Machine d’Atwood :
̈
; ̈
; l’axe des étant choisi vers le bas.
12) Le projet MOSE :
Ep 
SgH 2 mgL

cos  ; les positions d’équilibre stables sont :   0 si
2 cos 
2
   ar cos
SH 2
SH 2
 1.
mL
mL
13) Mouvement d’un plongeur :
.
si
SH 2
mL
 1 et

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