LAB 1

LABORATOIRE 1
BUT
Étudier le mouvement harmonique simple grâce à un
système masse-ressort.
THÉORIE
LE MOUVEMENT HARMONIQUE SIMPLE
exemple, si nous dépassons la limite élastique le ressort
subira une déformation permanente et pourrait même se
rompre si nous dépassions la limite de rupture.
La loi de Hooke peut s'écrire :
F = k ( y − y 0 ) = ky − ky 0
Une particule ou un objet se déplaçant sous l'influence
d'une force de rappel linéaire, comme c'est le cas pour
la loi de Hooke, décrit un mouvement harmonique
simple (M.H.S.). Ce mouvement d'oscillation
périodique est l'un des plus fréquents dans la nature. La
période d'oscillation d'un objet dans un mouvement
harmonique simple est reliée à la constante de
proportionnalité de la loi de Hooke.
F = − k∆x = − k (x − x0 )
En accord avec la loi de Hooke, la force de rappel du
ressort est directement proportionnelle à son
allongement. Prenons l'exemple illustré (voir figure cidessous), un ressort de longueur initiale y0 s'étire d'une
longueur y1 si on y suspend une masse m. L'équilibre
survient lorsque la force de rappel du ressort est égale à
la force qui provoque son allongement, soit la force
gravitationnelle :
qui peut être présentée sous la forme générale :
y = mx + b
Lorsque la position d'un objet se répète de façon régulière,
on peut alors parler de mouvement périodique. Par
exemple, que l'on observe l'oscillation d'un pendule ou le
déplacement d'un système masse-ressort, on remarque que
dans chaque cas la position oscille autour d'une position
d'équilibre. Dans le dernier cas, le système est sous
l'influence d'une force de rappel décrite par la loi de
Hooke, et son mouvement est appelé mouvement
harmonique simple (M.H.S.).
Tel qu'illustré à la figure ci-dessous, un bloc oscillant
trace une courbe sinusoïdale sur une bande de papier se
déplaçant à vitesse constante.
F1 = mg = k ( y1 − y 0 )
(Nous utilisons ici l'axe y pour indiquer la direction
verticale plutôt que l'axe x, comme c'est le cas dans
l'équation générale, qui est plus souvent utilisé pour une
direction horizontale.)
De la même façon, si nous ajoutons une seconde masse
m le système s'étirera jusqu'à une longueur y2,
F2 = mg = k ( y 2 − y 0 )
L'équation du mouvement peut être représentée par :
y1 = y m cos
(
2π
T
t +φ
)
où T est la période d'oscillation et A l'amplitude ou le
déplacement maximal. L'amplitude dépend des conditions
initiales (i.e. du déplacement initial de la masse par
rapport à sa position d'équilibre).
Si la masse était initialement déplacée en dessous de sa
position d'équilibre puis relâchée (soit y0 = -ym), l'équation
du mouvement pourrait s'écrire de la façon suivante :
y1 = y m cos
et ainsi de suite. La relation linéaire de la loi de Hooke
est valide tant que l'élongation n'est pas trop grande. Par
(
2π t
T
− π2
)
ce qui satisfait à la condition initiale, soit qu’à t = 0 s,
y = -A. L'argument du sinus 2Tπ t + φ doit être exprimé
(
)
en radians. Dans cette expérience, vous allez remarquer
que l'amplitude décroît très lentement avec le temps,
cela s'explique par l'énergie perdue en résistance de
l’air et en déformation du métal, et le mouvement
d'oscillation est alors très légèrement amorti. Dans
certaines applications cependant, le mouvement
harmonique est volontairement amorti (amortissement
surcritique). Par exemple, une simple lecture sur un
pèse personne serait difficile à obtenir de façon rapide
et précise si le mouvement de l'aiguille n'était pas
amorti de façon significative.
La période d'oscillation dépend des paramètres du
système, et dans le cas d'un système masse-ressort peut
s'écrire de la façon suivante :
T = 2π
m
k
MATÉRIEL
Masses calibrées (5, 10, 20 g)
(1 % d’incertitude sur les valeurs indiquées)
Support vertical
Deux ressorts différents (choix parmi un court, un
moyen et un long)
Règle de 1 mètre, équerre
Chronomètre
PRÉPARATION DU MONTAGE
En vue de pouvoir interpréter plus facilement les
mesures obtenues, faites en sorte que l’extrémité de la
règle verticale (zéro) coïncide avec la première spire à
l’extrémité fixe du ressort (celle qui est immobile).
MANIPULATIONS
A- Élongation d’un ressort (Pour chacun des 2 ressorts)
Pour la première mesure, faites augmenter
graduellement la masse suspendue jusqu’à ce que toutes
les spires soient tout juste décollées (pour que le
comportement du ressort soit bien celui modélisé par la
loi de Hooke). Après avoir déterminé cette masse
correctement, mesurez la position de la dernière spire
de l’extrémité mobile du ressort à sa position
d’équilibre; c’est y0. Remplissez la première ligne du
tableau 1. Ajoutez ensuite des masses de façon à obtenir
le plus grand étirement raisonnable pour ce ressort,
mais en évitant à tout prix une déformation permanente
(donc demeurer dans les limites d’élasticité du ressort
en limitant l’allongement à un facteur 20 pour ces
ressorts).
Suspendez ensuite des valeurs de masse comprises
entre les limites déjà mesurées et complétez les
tableaux 1 et 2 en faisant la même chose avec le second
ressort.
B- Période d’oscillation
Prenez votre ressort le plus long, et suspendez-y une
masse juste assez grande pour permettre des oscillations
sans que les spires du ressort ne se touchent. Notez cette
valeur dans le tableau 3. Étirez légèrement ce système
masse-ressort et déterminez, avec l'aide d'un chronomètre,
la durée de 20 oscillations. Notez cette valeur dans le
même tableau.
Répétez la procédure pour 9 autres masses en tentant
d’étudiez le phénomène jusqu’aux environs de la limite
d’étirement du ressort. Attention : le ressort ne doit pas
dépasser sa limite élastique même durant les oscillations!
Prenez l'autre ressort (le plus petit), et mesurez la durée de
20 oscillations pour l’une des valeurs de masse que vous
avez notée dans le tableau 3. Calculez à partir de cette
durée la période d’oscillation et notez cette valeur au
tableau 4 (période mesurée).
ANALYSE DE L’ENREGISTREMENT
Élongation du ressort (Loi de Hooke)
• Pour chaque ressort, faites un graphique de y vs mg.
Demandez l’affichage de la pente (vous permettant de
calculer la constante d’élasticité de chacun des ressorts).
Pour le ressort court, notez au tableau 4 la constante de
rappel trouvée.
• Interprétez l'ordonnée à l'origine des graphiques y vs mg.
• Pour le graphique 1 ( y = f (mg ) pour votre ressort le plus
long), tracez une ligne horizontale s'étendant de
l'intersection de l'axe y et de la droite tracée jusque vis-à-vis
le dernier point. Formez un triangle en traçant une ligne
verticale reliant le même point à la droite horizontale (vous
pouvez tracer ces droites à la main sur le graphique
imprimé).
• Vérifiez que l'aire sous la courbe trouvée (l’aire du triangle
formé) est égale au travail fait en étirant le ressort de sa
position y0 à sa position la plus étirée de votre expérience,
c’est-à-dire que W = 12 k ⋅ ∆x 2 = y m = 12 bh , x étant
l’allongement subi par le ressort de sa position y0
(l’ordonnée à l’origine) jusqu’à la position la plus éloignée
lors des mesures.
Période d’oscillation (M.H.S.)
• Faites un graphique de la période en fonction de la masse
suspendue. Quel genre de courbe observez-vous? (Appuyezvous sur l’équation décrivant ce système pour déterminer le
type de courbe).
• Puisque Excel n’offre pas de fonction obéissant à la courbe
de tendance requise, faites un changement de variable
appropriée (sur la variable dépendante) pour « linéariser » la
fonction reliant T et la variable indépendante m. Remplissez
adéquatement la colonne de droite du tableau 3 (***) en vue
de tracer le nouveau graphique. Expliquez de quelle façon
vous allez déterminer k.
• Faites un graphique et déterminez la pente de ce
graphique. À partir de cette pente, calculez la constante de
rappel du ressort. Comparez cette constante de rappel
trouvée avec celle obtenue dans la partie « élongation ».
Calculez le pourcentage d'écart.
• Pour le ressort court (tableau 4), utilisez la constante de
rappel trouvée dans la partie A pour calculer ce que
devrait être la période d’oscillation avec la masse utilisée.
Notez la période calculée au tableau 4. Calculez le
pourcentage d’écart de la valeur mesurée avec cette valeur
calculée.
À REMETTRE
•
Page couverture
•
Incertitudes : inscrire les valeurs dans les tableaux, mais
sans remettre les calculs.
• Tableaux 1 et 2;
• Graphique de y vs mg (2);
• Calcul de la constante de rappel de chaque ressort à partir
de la pente sur les deux graphiques;
• Interprétation de l’ordonnée à l’origine pour les deux
ressorts;
• Traces et calculs du travail du ressort long.
Période d’oscillation (M.H.S.)
• Tableaux 3 et 4;
• Graphique T = f(m) et commentaire sur le type de courbe;
• Procédé et commentaire sur la façon de linéariser la
relation T-m;
• Graphique linéarisé;
• Détermination de k (ressort long) et comparaison avec la
valeur trouvée dans la partie sur l’élongation;
• Calcul de T (ressort court) et comparaison avec T réel.
• Date de remise : _____________________
Tableau 1 : (ressort long)
Poids « mg »
(N)
Position à l’équilibre
(m)
±
±
±
±
±
±
±
±
±
±
±
±
±
±
±
±
±
Poids « mg »
Masse suspendue
(g)
Position à l’équilibre
(m)
(N)
±
±
±
±
±
±
±
±
±
±
±
±
±
±
±
±
±
Tableau 3 : (ressort long)
Élongation du ressort (Loi de Hooke)
Masse suspendue
(g)
Tableau 2 : (ressort court)
Masse suspendue
Temps
requis
Période
d’oscillation
m
t20
T
(s)
(g)
±
±
±
±
±
±
±
±
±
±
±
Tableau 4 : ( ressort court)
Masse (g)
Constante k (N/m)
Période mesurée (s)
Période calculée (s)
Pourcentage d’écart
(s)
±
***

Download Report