corrigé

TP n°13 : Détermination de la masse d’un trou noir galactique (corrigé)
I. A la découverte des lois de Kepler
Travail autour de l’animation « Kepler_laws.swf ».
I.1. Première loi de Kepler

Le mouvement de la planète n’est pas uniforme sa trajectoire est une ellipse, et non un cercle. Elle accélère (sa
vitesse augmente) quand elle s’approche du Soleil, et réciproquement.
On peut l’expliquer simplement en considérant que plus la planète est proche du Soleil, plus elle est attirée par
gravitation, plus sa vitesse augmente.

En modifiant le paramètre d’excentricité de l’ellipse, on peut allonger ou raccourcir l’ellipse. Les deux valeurs
extrêmes pour les planètes sont e = 0 et e = 0,7.
Pour e = 0, la trajectoire est circulaire.
I.2. Deuxième loi de Kepler

En faisant varier le paramètre d’excentricité, on remarque les aires balayées en des temps égaux (balayage
continu), sont égales (mêmes couleurs de part et d’autre du foyer).
I.3. Troisième loi de Kepler

Les planètes qui ont les périodes les plus grandes sont celles qui ont le demi-grand axe le plus grand, c’est-àdire les plus éloignées du Soleil (ex : Uranus, Neptune).

On a P 2 = a 3 si on exprime la période en années et le demi-grand axe en unités astronomiques (UA).
En effet, pour la Terre, on a P = 1 an et a = 1 UA.
II. Application de la 3ème loi de Kepler à la détermination de la masse d’un trou noir galactique
Objectif : Déterminer la masse du trou noir super massif au centre de la Voie lactée.
II.1.Trajectoire d’une étoile au centre de la Voie lactée

Non, l’étoile ne fait pas une révolution complète autour du centre de la Voie Lactée galaxie. Sa progression
est suivie entre 1992 et fin 2002, soit un peu plus de 10 ans.

Noter les coordonnées du centre de l’étoile, exprimées en pixel, dans le tableau ci-dessous.
Année
1992
1993
1994
1995
1996
1997
1998
1999
2000
2001
2002
2002,9
x
(pixel)
127
128
130
131
132
32
133
133
134
134
131
125
y
(pixel)
110
111
111
111
112
113
115
118
120
124
129
123
Trajectoire elliptique de l’étoile et sa modélisation :
y (px) en fonction de x (px)
130
125
120
y (pixel)
115
110
105
100
110
120
130
140
150
Détermination du demi-grand axe (en pixels) :

Noter la valeur en pixels :

2a = 18 pixels
a = 9 pixels
Détermination du demi-grand axe (en mètres) :

Echelle : 10 jours-lumière = 22 pixels (nombre entier)

Valeur du demi-grand axe « a » de l’ellipse :
a = 4,1 jours-lumière
Calcul : a = 9×10 / 22 = 4,1 jl
II.2. Détermination de la masse du trou noir

Masse M du trou noir :
Demi-grand axe « a » :
D’après le doc. 6 : 1 jl = 2,59.1013 m

a = 4,1 jl = 4,1 × 2,59.1013 = 1,1.1014 m
Période de révolution « T » :
T = 14 ans = 14 × 365,25 × 24 × 60 × 60 = 4,3.108 s
T 2 4 2

a 3 G.M
4 2 a 3
 G.M 
T2
4 2 a 3
 M
G.T 2
 M

4 2 1,1.1014 
3
6, 67.1011.  4,3.108 
M  4,3.1036 kg
2

Masse du trou noir, en « unité de masse solaire MS » :
M
4,3.1036 kg
 2, 2.106 M S
30
2, 0.10 kg
Soit environ 2 millions de fois la masse du Soleil.
II.3. Limite de la méthode

Les chercheurs ont mesuré une masse Mref = (2,45  0,45).106 MS
Le résultat expérimental est conforme à la mesure des astrophysiciens, compte-tenu de l’incertitude.
M ref  M
M ref

2, 45M S  2, 2M S
2, 2M S

2, 45M S  2, 2M S
2, 45M S
 0,10  10%
Dans le doc.5, il est dit que la masse d’un trou noir galactique est de « quelques millions à quelques milliards
de fois celle du Soleil ». Le résultat expérimental est donc cohérent.

La trajectoire mesurée (traits pointillés) est sûrement plus courte que la trajectoire réelle (traits pleins), à cause
de l’angle d’inclinaison du plan orbital.
Donc le demi-grand axe « a » est plus grand.
Or, d’après la 3ème loi de Kepler, « a3 » est encore plus grand, donc la masse réelle du trou noir est
probablement plus grande.

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