eine ebenso scharfe Abschätzung wie im rationalen Fall. Geht man hiermit in die Reihe für den Fourierkoeffizienten ein, so erhält man die oben erwähnte Abschätzung. Die Schwierigkeiten, die das Auftreten einer Summation über die Einheiten bei der Hilbertschen Modulgruppe bereitet, werden durch einen kleinen Trick bei der Abschätzung überwunden. Da im Fall der quaternären Formen die Poincaréschen Reihen nicht konvergieren, muss man hier zunächst ein Heckesches Summationsverfahren anwenden und für die so entstehenden Spitzenformen den Vollständigkeitssatz beweisen. Die dabei notwendigen Abschätzungen von Fourierkoeffizienten werden wie bei den normalen Poincaréschen Reihen durchgeführt; das Verfahren wird nur dadurch etwas komplizierter, dass an Stelle der Besselfunktionen allgemeinere Integrale auftreten. MATH. INST, DER UNIVERSITäT, MüNSTER. RELATIVQUADRATISCHE ZAHLKÖRPER, DEREN KLASSENZAHL DURCH EINE VORGEGEBENE UNGERADE PRIMZAHL TEILBAR IST MAX GUT Sei p eine beliebige ungerade Primzahl und k ein algebraischer Zahlkörper von endlichem Grade, der den Körper der ^>-ten Einheitswurzeln enthält und in welchem wenigstens ein p teilendes Primideal von k den absoluten Grad 1 hat. Unter diesen beiden Voraussetzungen über k wird der Satz bewiesen, dass es unendlich viele in bezug auf k ralativquadratische Zahlkörper K gibt, deren Klassenzahl durch p teilbar ist. Es wird wesentlich nicht nur gezeigt, dass solche Körper K existieren, sondern in jedem Falle explizite eine algebraische Zahl vom Relativgrad 2p in bezug auf k angegeben, deren Adjunktion zu K ein Stück des Hilbert'schen Klassenkörpers von K liefert, das in bezug auf K den Relativgrad p hat. Die Arbeit wird in den Commentarli Mathematici Helvetici erscheinen. GLäRNISCHSTR. 598, HERRLIBERG BEI ZüRICH, SCHWEIZ. ÜBERAUFLÖSBARE GRUPPEN BERTRAM HUPPERT Wir nennen eine endliche Gruppe © überauflösbar, wenn alle Faktorgruppen in den Hauptreihen von ® zyklisch sind. Nach Noboru Ito lassen sich 26 die überauflösbaren Gruppen durch folgende Eigenschaft charakterisieren: Sind Xt und SB Untergruppen von ©, Sß maximale Untergruppe von U, so ist der Index von 3S in U eine Primzahl. Diese Aussage lässt sich erweitern zu; Eine endliche Gruppe © ist genau dann überauflösbar, wenn alle maximalen Untergruppen Primzahlindex haben. (Dies ist offenbar eine Verallgemeinerung der folgenden Charakterisierung der endlichen nilpotenten Gruppen: Eine endliche Gruppe ist genau dann nilpotent, wenn alle maximalen Untergruppen invariant sind.) Aus diesem Satz lassen sich leicht zwei Folgerungen ziehen: 1.) Sei cp(&) die Frattini-Gruppe von ©. Ist ®/ç>(©) über auf lösbar, so auch ©. 2.) Ist Qó/%1 überauflösbar, so besitzt -JÌ ein überauflösbares „partial complement" im Sinne von P. Hall, d.h. es gibt eine überauflösbare Untergruppe H von © mit © = 5tt.U. Haupthilfsmittel beim Beweis für die angegebene Charakterisierung, der überauflösbaren Gruppen ist die folgende Bemerkung: Haben alle maximalen Untergruppen der auflösbaren Gruppe © Primzahlindex, so ist die Kommutatorgruppe ©' nilpotent. (Die Nilpotenz von ©' für überauflösbare © hat E. Wendt erstmalig bewiesen.) Diese Ergebnisse legen die folgende Verallgemeinerung nahe: ,,Sei © eine auflösbare Gruppe. Ist ÌX eine maximale Untergruppe von ©, so sei der Index von U in © (© : U) = p** mit a2- ^ k. Dann haben die Hauptfaktoren von © höchstens k Erzeugende". Dieser Satz ist aber bereits für k = 2 falsch. Im Spezialfall, dass alle Sylowgruppen von © abelsch sind, lässt er sich leicht bestätigen. MATH. INST. D. UNIVERSITäT TüBINGEN. LINEARE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN IN ALGEBRAISCHEN FUNKTIONENKÖRPERN MEHRERER UNBESTIMMTER BEI PRIMZAHLCHARAKTERISTIK ARNO JAEGER Während in früheren Arbeiten des Verf. [Monatsh. f. Math. 56, 181—219 und 265—287 (1952)] gewöhnliche und partielle Differentialgleichungen in Körpern von Primzahlcharakteristik nur bezüglich regulärer Multidifferentiationen [J. f. reine u. angew. Math. 190, 1—21 (1952)] aufgefasst worden waren, wird jetzt für separabel erzeugbare algebraische Funktionenkörper K in n unabhängigen Unbestimmten über einem Grundkörper L von Charakteristik p ^ 0 eine Theorie der Differentialgleichungen im Bezug auf eine beliebige nichttriviale Derivation ö von K über L aufgebaut. Sind Di (i = 1, 2, . . ., n) die Komponenten einer regulären Multidifferentiation 3) von K über L, so 27