Humboldt-Universität zu Berlin Mathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultät Institut für Mathematik Unter den Linden 6, D-10099 Berlin Prof. Dr. Remke Kloosterman Frank Gounelas Übungsaufgaben Algebra und Funktionentheorie (WiSe 2015/16) Serie 3 Abgabe: 9.11.2015 in der Vorlesung 1. Produkte [10 Punkte] Seien A, B zwei Gruppen. Zeigen Sie: (a) A × {e} ist eine normale Untergruppe von A × B. (b) (A × B)/(A × {e}) ist isomorph zu B. 2. Normale Untergruppen [10 Punkte] Sei H eine normale Untergruppe einer Gruppe G, mit |G : H| = p eine Primzahl (d.h. Index von H in G ist p). Zeigen Sie, dass für alle K Untergruppen von G eine der folgenden gilt: (a) K ist eine Untergruppe von H. (b) G = HK und |K : K ∩ H| = p. 3. Zentrum [10 Punkte] Sei G eine Gruppe, und sei Z(G) = {g ∈ G : ∀s ∈ G, sgs−1 = g} das Zentrum. Zeigen Sie: (a) Z(G) ist eine abelsche normale Untergruppe von G. (b) Wenn G/Z(G) zyklisch ist, dann ist G abelsch. 4. Untergruppe und Normalität [10 Punkte] Seien H1 , H2 zwei Untergruppen einer Gruppe G, mit H1 eine normale Untergruppe von H2 , und H2 eine normale Untergruppe von G. Ist dann H1 eine normale Untergruppe von G? (Hinweis: Betrachten Sie die Untergruppen {e, rs, r2 , sr} und {e, rs} der Diedergruppe D4 :=< r, s|r4 = s2 = e, sr = r−1 s >.) Vergessen Sie nicht, 1. die Lösungen jeder Aufgabe auf separaten Blättern abzugeben, 2. alle Blätter mit Name, Matrikelnummer und Übungsgruppe zu versehen, 3. Ihre Lösung stets auf Basis der Vorlesung bzw. Übung zu begründen. 1