D-MATH Prof. Dr. M. Schweizer Mass und Integral FS 2015 Serie 1 1. Seien Ω 6= ∅ und A ⊆ 2Ω ein Dynkin-System. Zeigen Sie die folgenden Aussagen: a) Für A, B ∈ A mit A ∩ B = ∅ gilt A ∪ B ∈ A. b) Für A1 , A2 , ... ∈ A mit An ↑ A gilt A ∈ A. c) Für A1 , A2 , ... ∈ A mit An ↓ A gilt A ∈ A. d) Sei jetzt C ⊆ 2Ω ein beliebiges Mengensystem mit • Ω ∈ C. • Für A, B ∈ C mit A ⊆ B gilt B \ A ∈ C. • Für A1 , A2 , ... ∈ C mit An ↑ A gilt A ∈ C. Zeigen Sie, dass C ein Dynkin-System ist. 2. Seien F1 , F2 , F3 , ... Mengensysteme in 2Ω . a) Nehmen Sie an, dass Fn mit Fn ⊆ Fn+1 Algebren sind. Zeigen Sie, dass ∪n∈N Fn eine Algebra ist. b) Nehmen Sie jetzt an, dass Fn mit Fn ⊆ Fn+1 σ-Algebren sind. Ist dann noch wahr, dass ∪n∈N Fn eine σ-Algebra ist? 3. Für A ⊆ Ω definieren wir die Indikatorfunktion IA als 1 falls ω ∈ A IA (ω) := 0 falls ω ∈ / A. Sei A ⊆ 2Ω ein beliebiges Mengensystem mit σ(A) = 2Ω . a) Zeigen Sie, dass für alle ω, ω 0 ∈ Ω mit ω 6= ω 0 eine Menge A ∈ A mit IA (ω) 6= IA (ω 0 ) existiert. Bitte wenden! b) Nehmen Sie an, dass Ω abzählbar ist. Zeigen Sie die umgekehrte Implikation, d.h. falls a) gilt, dann ist σ(A) = 2Ω . • Vorbesprechung: Diese Serie wird am 20.02.2015 in den Übungen vorbesprochen. • Abgabetermin: Bis 25.02.2015, 12 Uhr, im Vorraum zum HG F 28. • Testatbedingung: Keine; der Inhalt der Übungen gehört aber auch zum Prüfungsstoff. • Präsenz: Mo, Mi und Do ist die Präsenz im HG G 19.1 oder HG G 19.2 zwischen 12 und 13 Uhr. Dort werden fachliche Fragen zur Vorlesung und den Übungen beantwortet. Übungsgruppen Assistent Alexandru-Dumitru Paunoiu Igor Uljarevic José Luis Hablützel Aceijas Louis Correia Soares Ort HG D 5.1 (EN) HG E 33.5 (EN) HG D 3.3 (DE) HG D 3.1 (DE) Zeit Fr. 10-12 Uhr Fr. 10-12 Uhr Fr. 10-12 Uhr Fr. 10-12 Uhr Informationen zur Vorlesung und den Übungen sind unter: http://www.math.ethz.ch/education/bachelor/lectures/fs2015/math/massuint Bei Fragen zu den Übungen oder dem Übungsbetrieb wendet euch an: Luca Galimberti, [email protected].