ESERCIZI DI GEOMETRIA Foglio 3 Prof. Sambusetti Applicazioni lineari Esercizio 1 Sia f : R3 → R3 un'applicazione lineare che soddisfa le seguenti condizioni: f (1, 2, −3) = (1, 0, 0), f (1, −1, 0) = (1, 0, 0), f (1, 1, 0) = (0, 0, 0). a) E' possibile calcolare f (x, y, z) per ogni vettore (x, y, z)? Perché ? b) Calcolare, se é possibile, f (5, 0, −2). Esercizio 2 Rispondere alle seguenti domande motivando la risposta. a) Sia f : R3 → Rn una applicazione lineare iniettiva. Quali valori puó assumere n? b) Sia f : R3 → Rn un' applicazione lineare sia suriettiva che iniettiva. Quali valori puó assumere n? c) Sia f : R5 → R2 un'applicazione lineare suriettiva. Quale é la dimensione di ker f ? d) Sia f : V → W un' applicazione lineare suriettiva. Per quanti vettori w ∈ W l'insieme f −1 w é vuoto? Per quanti vettori w ∈ W l'insieme f −1 w é un sottospazio vettoriale? Esercizio 3 Sia f : R4 → R3 la funzione lineare data da     x 2x + y + z + 3w y     2y + w f z  = 2x + 3y + z + 4w w a) Trovare una base e la dimensione di kerf b) Trovare una base e la dimensione di Imf c) Stabilire se (−3, −2, −5) appartiene all'immagine di f . In caso aermativo determinare f −1 (−3, −2, −5). Esercizio 4 Sia f : R3 → R4 una applicazione lineare tale che   1 0  f (e1 ) =  2 1   2 1  f (e2 ) =  0 −1   5 1  f (e3 ) =  6 2 dove e1 , e2 ed e3 sono i vettori della base canonica di R3 . Sia inoltre U = Im f . a) Trovare una base, equazioni parametriche ed equazioni cartesiane per U b) Trovare equazioni cartesiane ed una base per U ⊥ c) Scrivere la matrice associata ad f rispetto alle basi canoniche di R3 ed R4 . d) L'applicazione é iniettiva? E'suriettiva? e) Detto W il sottospazio di R4 dato dall'equazione 2x + y − z − w = 0, determinare una base e la dimensione per U ∩ W e U + W . 1 2 Esercizio 5 Si consideri l'applicazione lineare     x x+y+z  x f y  =  z x+y+z a) Trovare una base, equazioni parametriche e cartesiane di Kerf . b) Trovare una base, equazioni parametriche e cartesiane di Imf . c) Trovare una base e la dimensione di Kerf + Imf e Kerf ∩ Imf . Esercizio 6 In R3 consideriamo la base canonica E e la base B : {(1, −1, 0), (2, 1, 0), (0, 0, 1)}. a) Scrivere le matrici del cambiamento di base da E a B e da B a E b) Sapendo che [v]E = (1, 3, −2), calcolare [v]B . c) Si consideri l'applicazione f dell'esercizio 5. Trovare le matrici [f ]EE e [f ]BB . Esercizio 7 Sia Sπ : R3 → R3 la riessione rispetto al piano π : x − y + 2z = 0. a) Trovare la matrice che rappresenta Sπ rispetto alla base canonica di R3 b) Usare la matrice trovata per calcolare Sπ (1, −2, 4) Esercizio 8 Sia Sr : R3 → R3 la riessione rispetto alla retta r di equazioni cartesiane x − y + 2z = 0 e x + y = 0. a) Trovare la matrice che rappresenta Sr rispetto alla base canonica di R3 b) Usare la matrice trovata per calcolare Sr (1, −2, 4).