Appello del 28 febbraio 2014 di Controllo non lineare 1. Si consideri il sistema di Lur’e autonomo in Figura 1 e u y Figura 1: sistema di Lur’e autonomo dove () è una non linearità settoriale, mentre G(s) è la funzione di trasferimento di un sistema lineare completamente raggiungibile ed osservabile. Rispondere in modo chiaro e preciso ai seguenti quesiti: 1.1 Definire il concetto di stabilità assoluta del sistema di Lur’e autonomo nel settore [0,k], con k>0; 1.2 Enunciare il criterio di Popov per la stabilità assoluta del sistema di Lur’e autonomo nel settore [0,k], con k>0, fornendone un’ interpretazione grafica; 1.3 Dimostrare che il sistema di Lur’e autonomo è assolutamente stabile nel settore [0,k], qualunque sia k>0 e qualunque sia G(s) della forma ( ) con >0, a>0 e b>0 2. Si consideri il sistema di Lur’e in Figura 2, dove il blocco N è il relè senza isteresi in Figura 3 con funzione descrittiva ad ingresso puramente sinusoidale ( ) e G(s) è la funzione di trasferimento di un sistema completamente raggiungibile ed osservabile e y u N Figura 2: Sistema di Lur’e 1 u e -1 Figura 3: Relè senza isteresi Si supponga che si inneschi nel sistema l’oscillazione ( ) Figura 4 Figura 4: oscillazione stabile Determinare il margine di guadagno di G(s). Spiegare in modo chiaro e preciso il procedimento seguito. ̅ ( ̅ ) riportata in 3. Con riferimento al sistema dinamico rispondere in modo chiaro e preciso ai seguenti quesiti: 3.1 definire il concetto di sistema dinamico passivo; 3.2 enunciare i principali risultati che legano la passività del sistema alla stabilità dell’equilibrio x = 0 del sistema libero. 4. Con riferimento ad un sistema dinamico lineare, descrivere in modo sintetico e chiaro le fasi del progetto del controllore sliding mode per la regolazione dell’uscita ad un valore di equilibrio desiderato. Disegnare il diagramma a blocchi del sistema di controllo risultante. 5. Dato il sistema SISO non lineare regolare di ordine n, descritto dall’equazione enunciare la condizione necessaria e sufficiente affinchè il sistema sia (localmente) linearizzabile in modo completo in un certo punto mediante retroazione algebrica dallo stato. Verificare che tale condizione è soddisfatta per ogni n=2 con ( ) [ ] per il sistema di ordine ( ) [ ] (suggerimento: provare con y=x2 e y=x1) e scrivere l’espressione della retroazione algebrica dallo stato che linearizza il sistema.