Terza simulazione

APPELLO DI ALGEBRA LINEARE
FAC SIMILE - A.A. 2014-15
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La valutazione tiene conto di ordine e chiarezza nello svolgimento. Tutte le risposte devono
essere adeguatamente giustificate. Il tempo a disposizione `e di 2 ore e mezza.
1
Sia R un anello commutativo con identit`a e sia V un gruppo abeliano. Supponiamo che
esista una funzione ( · ) : R × V → V che rispetta le usuali propriet`a di prodotto scalare.
Diciamo, in questo esercizio, che V `e un modulo su R. Sicuramente ha ancora senso parlare di
combinazioni lineari (a coefficienti in R) di vettori di V ed ha ancora senso parlare di dipendenza
e indipendenza lineare di vettori di V .
• Risulta ancora vero, per un insieme finito qualsiasi X = {v1 , . . . ,vn } ⊆ V , che X `e
linearmente dipendente se e solo se esiste un vettore di X che `e combinazione lineare degli
altri?
• In caso negativo prova a dare un controesempio.
• Cosa cambia se supponiamo che R sia un dominio di integrit`a? Anche qui cercare un
controesempio, se esiste.
Soluzione. Sia X = {v1 , . . . ,vn } un sottoinsieme finito di V e supponiamo che esista un
vettore in X che `e combinazione lineare degli altri. Pi`
u precisamente
esiste j ∈ {1, . . . ,n}
P
ed esistono coefficienti α1 , . . . , αj−1 ,αj+1 , . . . ,αn tali che vj = ni=1 αi vi . Ponendo αj = −1,
i6=j
P
otteniamo ni=1 αi vi = 0V e questo dimostra che X `e un insieme linearmente dipendente perch`e
la combinazione lineare ha almeno un coefficiente non nullo (cio`e αj ).
Supponendo invece che X sia linearmente dipendente nonPsi pu`o, in generale, esista un
vettore P
in X che `e combinazione lineare degli altri. Infatti da ni=1 αi vi = 0V si pu`o ottenere
o supporre di poter semplificare il coefficiente αj se R non `e un
αj vj = ni=1 αi vi ma non si pu`
i6=j
campo.
Consideriamo l’anello R = Z dei numeri interi con le usuali operazioni. Esso `e anche un
` facile verificare che il gruppo abeliano V = Q2 `e un modulo su R.
dominio di integrit`
a. E
1 1
Prendiamo v1 = ( 2 , 6 ), v2 = ( 41 ,1) e v3 = ( 14 , 21 ). Inoltre poniamo α1 = 3, α2 = 5, α3 = −11.
P
Allora 3i=1 αi vi = (0,0,0) ma nessuno dei tre vettori `e combinazione lineare degli altri.
2
Sia G un gruppo abeliano. La struttura (End(G), ◦, idG ) il cui insieme universo `e quello
degli endomorfismi di G, l’operazione `e la composizione di funzioni e idG `e la funzione identit`
a
`e un gruppo abeliano? In caso positivo fornire una dimostrazione, in caso negativo fornire un
controesempio.
Soluzione. Non `e sempre un gruppo abeliano. Un controesempio `e dato da (End(Z2 ), ◦, idZ2 ),
che `e solo un monoide commutativo.
3
Sia K un campo e sia ϕ : K 4 → K 4 l’unica funzione lineare tale che


ϕ(e1 ) = (1,1,0,0)



ϕ(e ) = (0,1,1,0)
2

ϕ(e3 ) = (0,0,1,1)



ϕ(e ) = (0,1,0,1)
4
Si dica se ϕ `e iniettiva e/o suriettiva e si calcoli una base per gli spazi ker ϕ e ϕ(K 4 ) nei
due seguenti casi:
a) K = Q ;
b) K = Z2 .
4
Si consideri l’R-spazio vettoriale R4 e il suo sottoinsieme W = {(a,b,c,d) ∈ R4 : a+b+c+d =
0}. Si dica se W `e sottospazio vettoriale di R4 e in tal caso si calcoli una base per W .
Soluzione. La funzione φ : R4 → R data da φ(a,b,c,d) = a + b + c + d `e un’applicazione
lineare e W = ker φ. Quindi W `e sottospazio vettoriale di R4 . Per la Proposizione 38.5
del Facchini, troviamo che dim(ker φ) = 3. Quindi basta trovare tre vettori di W tra loro
linearmente indipendenti. Per esempio possiamo prendere v1 = (1, − 1,0,0), v2 = (0,1, − 1,0),
v3 = (0,0,1, − 1). L’insieme {v1 ,v2 ,v3 } `e necessariamente una base di W .
5
Siano V,W spazi vettoriali sullo stesso campo K e sia {v1 , . . . ,vn } una base di V . Si dimostri
che per ogni n-upla w1 , . . . ,wn di vettori di W esiste un’unica applicazione lineare f : V → W
tale che f (vi ) = wi per ogni i = 1, . . . ,n.

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