Anno 4 - Repetita

Anno 4
Sistemi di equazioni
goniometriche
1
Introduzione
In questa lezione descriveremo le equazioni goniometriche parametriche e i sistemi di
equazioni goniometriche.
Forniremo le definizioni e illustreremo i metodi risolutivi per ogni argomento.
Al termine della lezione sarai in grado di:


risolvere le equazioni goniometriche parametriche
risolvere i sistemi di equazioni goniometriche
In questa lezione descriveremo le equazioni goniometriche parametriche e i sistemi di
equazioni goniometriche.
Forniremo le definizioni e illustreremo i metodi risolutivi per ogni argomento.
Al termine della lezione sarai pertanto in grado di:
 risolvere le equazioni goniometriche parametriche;
 risolvere i sistemi di equazioni goniometriche.
2
Equazioni goniometriche parametriche
Equazione goniometrica parametrica: dipende da un parametro reale, che indichiamo con k.
Fissato l’intervallo a cui devono appartenere le soluzioni, il numero di soluzioni varia al
variare di k.
Troveremo le soluzioni con il metodo grafico.
Esempi di equazioni parametriche:
 sen ( x )  2 k  1



 0  x  3
Equazione elementare
 ksen ( x )  cos ( x )  1  0



 0  x  4
Equazione lineare
 cos 2 ( x )  ksen ( x )  k  0



0  x 
3

Equazione di secondo grado
Iniziamo definendo le equazioni goniometriche parametriche.
Un’equazione goniometrica si dice parametrica quando i suoi coefficienti dipendono da un
parametro reale, che indichiamo con k.
Fissato l’intervallo a cui devono appartenere le soluzioni, il numero di soluzioni varia al
variare di k. Il metodo che usiamo per risolvere questo tipo di equazioni è il metodo
grafico.
Risolvere un’equazione parametrica significa trovare i valori di k per cui l’equazione è
verificata. Nello schema sottostante, sono illustrati alcuni esempi di equazioni
parametriche:
 sen(x)=2k-1, 0≤x≤π/3, che è un’equazione parametrica elementare;
 ksen(x)-cos(x)-1=0, 0<x≤π/4, che è un’equazione parametrica lineare;
 cos2(x)+ksen(x)+k=0, 0≤x≤π/3, che è un’equazione parametrica di secondo grado.
3
Risoluzione di equazioni goniometriche parametriche elementari
Esempio di equazione elementare:
Risolviamo l’equazione:
 sen ( x )  2 k  1




 0  x  3

 y  sen ( x )

 y  2k  1


0 x 
3

Determiniamo k in corrispondenza dei valori estremi di x:

x  0
x  0


 y  0
y  0
2k  1  0

1

k 
2





x  3
x  3


3
3


 y 
y 
2
2




3
32
2k  1 
k 
2
4


Consideriamo l’equazione sen(x)=2k-1 con x compreso tra 0 e π/3. Si tratta di
un’equazione elementare.
Poniamo uguali a y i due membri dell’uguaglianza. Graficamente, le soluzioni
corrispondono alle ascisse dei punti di intersezione fra la sinusoide e il fascio di rette
parallele all’asse x, che è rappresentato dall’equazione y=2k-1 nell’intervallo [0,π/3].
Determiniamo k in corrispondenza degli estremi dell’intervallo da considerare.
Se x=0, ne consegue che y=0. In corrispondenza di questo y troviamo il valore k=1/2.
Se x=π/3, ne consegue che y=√3/2. In corrispondenza di questo y troviamo il valore
k=(√3+2)/4.
Guardando il grafico, vediamo che l’equazione ha una soluzione per 1/2≤k ≤(√3+2)/4
nell’intervallo [0,π/3], poiché esiste una sola intersezione tra la sinusoide e una qualsiasi
retta del fascio.
4
Risoluzione di equazioni goniometriche parametriche lineari
Esempio di equazione lineare:
Risolviamo l’equazione:
 2 cos ( x )  ksen ( x )  1  0



 0  x  2
Poniamo senx=Y e in cosx=X e sostituiamo:

 2 X  kY  1  0
 2
2
X Y 1


0  x 
2

Fascio di rette di centro C(-
1
;0)
2
Circonferenza di centro O(0;0) e
raggio 1
Determiniamo k in corrispondenza della retta passante per


A(cos( ); sen( ))=(0;1):
2
2
 k 1 0  k 1
L’equazione avrà una soluzione per k>1.
Facciamo ora un esempio di equazione parametrica lineare.
Vogliamo risolvere l’equazione 2cos(x)-ksen(x)+1=0, nell’intervallo (0,π/2), estremi esclusi.
Ricorriamo alla geometrica analitica e risolviamo il sistema costituito dall’equazione
parametrica e dall’equazione sen2(x)+cos2(x)=1.
Poniamo sen(x)=Y e in cos(x)=X e sostituiamo. Il nuovo sistema è formato dall’equazione
2X-kY +1=0 che rappresenta il fascio di rette di centro C(-1/2;0), dall’equazione della
circonferenza goniometrica X2+Y2=1 e dalle limitazioni per l’angolo x. Le soluzioni del
sistema rappresentano le intersezioni tra le rette del fascio e l’arco di circonferenza
contenuto nel primo quadrante.
Determiniamo k in corrispondenza delle rette passanti per gli estremi dell’arco di
circonferenza in esame. Per il punto A(0;1) si ha -k+1=0 ovvero k=1. Per il punto B(1;0)
otteniamo un’equazione impossibile: ciò significa che la retta y=0 è la retta mancante del
fascio.
Osserviamo che, a partire dalla retta per A(k=1) all’aumentare di k diminuisce il
coefficiente angolare della retta 2X-kY +1=0, quindi le rette che incontrano l’arco di
circonferenza contenuto nel primo quadrante sono tutte quelle per le quali k>1.
5
Sistemi di equazioni goniometriche
Sistema di equazioni goniometriche: insieme di due o più equazioni goniometriche nelle
stesse incognite.
Le soluzioni del sistema sono le soluzioni comuni a tutte le equazioni che lo compongono.
I sistemi di equazioni goniometriche si risolvono in modo analogo ai sistemi di equazioni
algebriche.
Esempi di sistemi di equazioni parametriche:
 4 cos 2 ( x )  3 cos 2 ( y )  4

 2 cos ( x )  5 cos ( y )  6
x  y  

 2 sen ( x )  2 cos ( y ) 
3 1
Definiamo ora i sistemi di equazioni goniometriche.
Un sistema di equazioni goniometriche è un insieme di due o più equazioni goniometriche
nelle stesse incognite.
Le soluzioni del sistema sono le soluzioni comuni a tutte le equazioni che lo compongono.
I sistemi di equazioni goniometriche si risolvono in modo analogo ai sistemi di equazioni
algebriche.
Sono sistemi di equazioni goniometriche i seguenti:
4 cos 2 x  3 cos 2 y  4
 
 2 cos x  5 cos y  6
x y 

 
.
2 sin x  2 cos y  3  1
6
Risoluzione di sistemi di equazioni goniometriche
Esempi di sistemi di equazioni parametriche:
Risolviamo il sistema:


x  y 
2

 sen ( x )  sen ( y )  1
Ricaviamo x nella prima equazione e sostituiamola nella seconda:


 x  2  y


 sen (   y )  sen ( y )  1

2


 y
x 
2

 cos ( y )  sen ( y )  1
Risolviamo l’equazione goniometrica lineare applicando le formule parametriche:
cos ( y ) 
1 t2
2t
; sen ( y ) 
,
1 t2
1 t2
t  tan(
y
)
2
Sostituendo e risolvendo troviamo:
y  2 k  x 

2
 2 k ;
y 

2
 2 k  x  2 k
Risolviamo un sistema di equazioni goniometriche, utilizzando il metodo di sostituzione.
Vogliamo risolvere il sistema formato dalle equazioni x+y=π/2 e sen(x)+sen(y)=1.
Ricaviamo x nella prima equazione e sostituiamola nella seconda: x=π/2-y, sen(π/2y)+sen(y)=1.
Ricordiamo che sen(π/2-y)=cos(y) e sostituiamo.
Applicando le formule l’equazione lineare: cosy+seny=1 si trasforma nell’equazione
1  t 2  2t
x
algebrica
1
t  tan che ha come soluzioni t=0(x=2kπ) e t=1(x=π/2+2kπ).
2
1 t
2
Risolvendo troviamo y=2kπ a cui corrisponde x=π/2-2kπ e y=π/2+2kπ a cui corrisponde
x=-2kπ.
7
Conclusione
Equazioni
Goniometriche
Sistemi di
equazioni
parametriche
Equazioni
goniometriche
parametriche
Elementari
Lineari
Secondo
grado
Risoluzione con
metodi algebrici
In questa lezione abbiamo illustrato le equazioni goniometriche parametriche e i sistemi di
equazioni goniometriche.
Partendo dalla definizione di equazione parametrica, ne abbiamo illustrato alcuni tipi
 le equazioni elementari;
 le equazioni lineari;
 e le equazioni di secondo grado.
Abbiamo, poi, definito i sistemi di equazioni parametriche, fornendo qualche esempio di
risoluzione e osservando che vengono usati gli stessi metodi usati per i sistemi algebrici.
8

Download Report