Von der Sekantensteigung zur Tangentensteigung - Wie bestimmt man die Steigung einer Tangente? Wir kennen die Berechnung der Steigung einer Geraden (Sekante) zwischen zwei Punkten. Es gilt für eine Gerade durch die Punkte P1 und Po für die Sekantensteigung mS: Für die Sekantensteigung einer Geraden durch die Punkt P2 und Po gilt entsprechend: Stellt man die drei Punkte in einem Koordinatensystem dar so ergibt sich das folgende Bild: Ausführlicher Grenzübergang - Seite -1- Nehmen wir einmal an, durch die drei Punkte P1, Po und P2 verläuft der Graph einer nichtlinearen Funktion f. Es entsteht dann die folgende Abbildung: Anschaulich erkennt man, dass die Steigung des Graphen der Funktion f in den drei Punkten unterschiedliche Werte besitzt. Der Wert der Steigung wächst mit zunehmenden Werten von x. Problemstellung: Zu bestimmen ist die Steigung der Funktion f an der Stell xo. Lösungsidee: Man bestimme mit zwei Hilfspunkte (P1) und (P2) ein linkes und ein rechtes Steigungsdreieck und berechne die Steigung der beiden Sekanten. Anschaulich erkennt man, dass die Steigung der Tangente T in Po größer ist als die Sekantensteigung des linken Steigungsdreiecks, aber kleiner ist als die Sekantensteigung des rechten Steigungsdreiecks. Ausführlicher Grenzübergang - Seite -2- Idee: Wenn der Wert für h kleiner wird, d.h. P1 und P2 in Richtung Po streben, dann wird der Wert für mS-links anwachsen, der für mS-rechts kleiner werden. Die Schwankungsbreite für die gesuchte Tangentensteigung in Po wird kleiner. Wenn letzendlich h gegen Null strebt, dann sollte die Schwankungsbreite ebenfalls gegen Null streben und es gilt: Ausführung: Sei f eine Funktion für die gilt: f(x) = x2 +2x. Zu berechnen ist die Stegung der Tangente an der Stelle xo. 1. Schritt: Wir bilden die Gleichung der Sekantensteigung für das linke bzw. rechte Steigungsdreieck. 2. Schritt: In die vorgegebene Funktionsgleichung setzen wir xo, xo - h und xo + h ein. Es folgt: Ausführlicher Grenzübergang - Seite -3- 3. Schritt: Auflösung der Klammern (binomische Formel beachten) und zusammenfassen gleicher algebraischer Terme. 4. Schritt: Im Zähler den Faktor h ausklammern und kürzen mit h! 5. Schritt: Grenzübergang; h strebt gegen Null! Dann ist der Grenzwert der Sekantensteigung gleich der gesuchten Tangentensteigung. Es gilt die Schreibweise: Es folgt die Tangentensteigung: Ausführlicher Grenzübergang - Seite -4- 6. Schritt: Aussage: Die Funktion f, f(x) = x2 +2x, besitzt an der Stelle xo die Tangentensteigung mT ; mT = 2 xo + 2. Da an der Stelle xo der Grenzwert der linken Sekantensteigung mit dem Grenz we rt der re ch t en Sekantensteigung übereinstimmt, sagt man auch: Die Funktion f ist für alle x 0 ú differenzierbar. Zusammenfassung: Die Grundidee des ausführlichen Grenzübergangs Sie f eine beliebige Funktion, die auf einem vorgegebenen Intervall differenzierbar ist. Dann ist die Steigung der Funktion für eine beliebige Stelle x0 zu bestimmen. Vorgehensweise: Grundsätzlich gilt mit den Bezeichnungen der obigen Abbildung für die linke bzw rechte Sekantensteigung: links rechts Sei f eine beliebig vorgegebene Funktion, so muss in dieser Funktionsgleichung für die Variable x a.) b.) für die linke Sekantensteigung einmal x0 bzw. x0 - h, für die rechte Sekantensteigung einmal x0 + h bzw. x0 eingesetzt werden. Dadurch erhält man zwei Brüche, die entsprechend der Regeln der Algebra wie folgt umgeformt werden müssen: 1. 2. Im Zähler die Klammern auflösen. Im Zähler müssen alle Terme, welche die Variable h nicht enthalten, durch Addition oder Subtraktion, sich aufheben. Ausführlicher Grenzübergang - Seite -5- 3. 4. 5. 6. Im Zähler muss dann die Variable h ausgeklammert werden. Dadurch kürzt sich die Variable h im Nenner, der Bruch “verschwindet”. Auf den algebraischen Ausdruck, den man so erhalten hat, wendet man die Überlegung an, zu welchem Ergebnis dieser Ausdruck führt, wenn h gegen Null strebt. Alle Terme, die h als Faktor enthalten streben dann gegen Null. “Übrig bleiben nur die Terme ohne h als Faktor.” Ergebnis: Strebt h gegen Null, dann wird aus der Sekantensteigung die gesuchte Tangentensteigung. Die Tangentensteigung enthält dann alle die Terme, in denen h nicht als Faktor vorkam. Anders ausgedrückt: Die erste Ableitung einer Funktion f besteht aus den Termen der umgeformten Sekantensteigung (in denen h nicht mehr im Nenner vorkommen darf), d.b. die h nicht als Faktor enthalten. Ausführlicher Grenzübergang - Seite -6-