Skript M11 Seiten 040

2.7 TANGENTE & NORMALE
In Kapitel 2.1 wurde die Ableitung über die Steigung einer Tangente hergeleitet. Grund genug, sich einmal näher mit Tangenten zu beschäftigen. Und wo
wir schon dabei sind, führen wir auch gleich noch die "Normalen" ein...
Definition: "Tangente", "Normale"
Als "Tangente zu Gf bei x0" wird die Gerade t bezeichnet, die ...
... Gf im Punkt P( x0 | f(x0) ) berührt8, und ...
... dort die gleiche Steigung wie Gf hat.
Als "Normale zu Gf bei x0" wird die Gerade n bezeichnet, die ...
... Gf im Punkte P( x0 | f(x0) ) schneidet, und ...
... dort senkrecht auf der Tangente (bzw. Gf) steht.
Beispiel:
Funktion:
f(x) = x2
Ableitung:
f '(x) = 2x
Bei x = 1 geht Gf durch P(1 | 1) und hat dort
die Steigung f '(1) = 2 . Der Graph hat dort
die ...
... Tangente t(x) = 2x - 1
(rot)
... Normale n(x) = -0,5x + 1,5 (grün)
a
b
-b
a
Wie bestimmt man Tangente und Normale?
Jede Gerade wird durch die Funktionalgleichung y = m·x + t beschrieben.
Die Steigung m ist durch die Ableitung der Funktion bekannt, den Achsenabschnitt t bestimmt man dann durch Einsetzen des gemeinsamen Punktes.
a
Steigung der Tangente:
mt =
= f '(x0)
b
Steigung der Normale:
mn =
−b
−1
=
a
f 'x
Einsetzen der Koordinaten P(xp | yp) und umstellen nach t:
yp = m·xp + t
t = yp - m·xp
8
| - m·xp
(y-Achsenabschnitt)
Das Wort "berührt" sagt hier eigentlich schon alles, denn zum Berühren muss die Steigung von Tangente und Graph
die selbe sein - anderenfalls würde die Tangente den Graph bei x0 durchstoßen!
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Aufgabe:
a)
b)
c)
f(x) = 0,25 x4 - x2
Bestimme die Tangente und Normale zu G f bei x = 1
Bestimme die Tangenten und Normalen an den Nullstellen von f(x)
An welchen Stellen hat Gf waagerechte Tangenten?
Lösung:
f(x) = 0,25 x4 - x2
a)
=>
f '(x) = x3 - 2x
x = 1 => y = f(1) = - 0,75 => P(1 | -0,75)
Tangente
m = f '(1) = -1
x = 1 und y = -0,75 einsetzen
=> Tangente:
=>
=>
=>
y=m·x+t
y=1·x+t
- 0,75 = 1 · 1 + t
t = - 1,75
t(x) = -1 · x + 0,25
Normale
m = - 1 / f '(1) = 1
x = 1 und y = -0,75 einsetzen
=> Normale:
=>
=>
=>
y=m·x+t
y = -1 · x + t
- 0,75 = -1 · 1 + t
t = 1 - 0,75 = 0,25
n(x) = x - 1,75
f(x)
n(x)
t(x)
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f(x) = 0,25 x4 - x2
b)
f '(x) = x3 - 2x
Bestimme die Tangenten und Normalen an den Nullstellen von f(x)
Nullstellen:
0 = 0,25 x4 - x2
=> 0 = 0,25 x2 (x2 - 4)
=> 0 = 0,25 · x2 · (x-2) · (x+2)
=> Nullstellen bei x1 = -2, x2 = +2, x3 = 0 (doppelt)
x1 = -2 :
Tangente bei N1 (-2 | 0)
t : y = mt x + t
3
mt = f '(-2) = (-2) - 2(-2) = -4
=>
t : y = - 4x + t
N1(-2 | 0) einsetzen: 0 = -4 (-2) + t =>
t = -8
=> Tangente: t(x) = - 4x - 8
Normale bei N1 (-2 | 0)
n : y = mn x + t
mn = -1 / f '(-2) = -1 / -4 = 1/4
=>
n : y = 0,25 x + t
N1(-2 | 0) einsetzen: 0 = 0,25 (-2) + t => t = 0,5
=> Normale: n(x) = 0,25 x + 0,5
x2 = +2 :
Tangente bei N2 (2 | 0)
t : y = mt x + t
3
mt = f '(2) = (2) - 2(2) = 4
=>
t : y = 4x + t
N1(2 | 0) einsetzen: 0 = 4·2 + t => t = - 8
=> Tangente: t(x) = 4x - 8
Normale bei N2 (2 | 0)
n : y = mn x + t
mn = -1 / f '(2) = -1 / 4 = -1/4
=>
n : y = - 0,25 x + t
N1(2 | 0) einsetzen: 0 = -0,25·2 + t => t = 0,5
=> Normale: n(x) = - 0,25 x + 0,5
x3 = 0 :
Tangente bei N3 (0 | 0)
mt = f '(0) = (0)3 - 2(0) = 0
=>
N3(0 | 0) einsetzen: 0 = 0 + t =>
=> Tangente: t(x) = 0
( x-Achse )
t : y = mt x + t
t:y=0+t
t=0
Normale bei N3 (0 | 0)
=> Normale ist die y-Achse, die durch n : x = 0 beschrieben wird.
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Bemerkungen:
•
•
•
Durch die Achsensymmetrie der Funktion zur y-Achse kann man Tangente und Normale bei N2(2 | 0) auch direkt aus der Tangente bzw. Normale bei N1(-2 | 0) ablesen. Dabei bleiben die Schnittpunkte mit der yAchse die selben (Fixpunkte der Achsenspiegelung!), die Steigungen ändern ihr Vorzeichen (denn im gespiegelten Steigungsdreieck hat Δx die
umgekehrte Richtung während Δy gleichbleibt).
Da Gf die x-Achse bei x = 0 berührt (doppelte Nullstelle!) ist die x-Achse
dort automatisch seine Tangente (das ist ja gerade die Bedeutung einer
Tangente). Die Ableitung bestätigt das, denn f '(0) = 0.
Eine Senkrechte (wie z.b. die Normale bei x = 0) kann man nicht in der gewohnten Form y = mx + t schreiben, da die Steigung m hier unendlich
groß wäre. Stattdessen gibt man senkrechte Gerade in der Form x = x 0
an, die sinngemäß besagt "diese Gerade enthält alle Punkte, deren xWert x0 ist". Senkrechte Geraden sind keine Graphen linearer Funktionen!
f(x) = 0,25 x4 - x2
c)
f '(x) = x3 - 2x
An welchen Stellen hat Gf waagerechte Tangenten?
waagerechte Tangente <=> Steigung ist 0 <=> f '(x) = 0
=> Die Stellen mit waagerechter Tangente findet man,
indem man die Nullstellen der Ableitungsfunktion bestimmt:
0 = f '(x)
=> 0 = x3 - 2x
=> 0 = x (x2 - 2)
=> x1 = 0, x2,3 = ±2≈±1,44
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