Erkundungen Terme vergleichen Forschungsauftrag 1: Flächeninhalte von Rechtecken auf verschiedene Arten berechnen –– Die Terme (1) bis (6) beschreiben jeweils den Flächeninhalt von einem der drei Rechtecke. Ordnet die Terme den Rechtecken zu und begründet, warum jeweils zwei Terme denselben Flächeninhalt beschreiben. (1) (n + 1) · 2 n (4) 2 · n2+ n Lerneinheit 1 Seite 8 Lerneinheit 2 Seite 12 (3) n2 + 2 n + 1 (2) n · (2 n + 1) (5) (n + 1) · (n + 1) (6) 2 · n 2 + 2 · n –– Überlegt euch zu den Rechtecken (D) und (E) jeweils zwei verschiedene Terme, mit denen man den Flächeninhalt berechnen kann. Erläutert schriftlich und mit einer Zeichnung, wie ihr zu euren Ergebnissen kommt. –– Zeichnet weitere Rechtecke (F) und (G), beschriftet sie und bestimmt die zugehö rigen Terme für den Flächeninhalt einmal als Produkt der Seitenlängen und einmal als Summe der Teilflächen. Schreibt jeden Term auf einen Zettel. Eure Mitschüler können dann später die Terme den Rechtecken zuordnen. Forschungsauftrag 2: Umformungen ohne Zeichnungen –– Notiert eure Ergebnisse aus Forschungsauftrag 1 im Heft in Form einer Tabelle. –– Erklärt, wie man umformen muss, damit aus dem Term in der mittleren Spalte der Term in der rechten Spalte entsteht. Schreibt eine passende Regel dazu auf. Rechteck Fläche als Produkt der Seitenlängen Fläche als Summe der Teilflächen A B … G 6 DO01_312733781_K01_004_037.indd 6 21.10.2014 12:09:18 I Terme und Gleichungen Forschungsauftrag 3: Produkte als Differenzen von Rechecksflächen darstellen –– Die Terme (3a – 2) · a und 3a · a – 2a sind äquivalent. Erklärt, warum man das an Fig. 1 ablesen kann. –– Erklärt mithilfe der Fig. 2 die Äquivalenz der Terme (5 – a) · (a + 1) und 5a + 5 – a2– a. Fig. 1 Fig. 2 –– Zeichnet eine Figur (Fig. 3), mit deren Hilfe man nachweisen kann, dass die Terme (a – 2) · (a – 2) und a2+ 4 – 2 · (2 · a) gleichwertig sind. –– Findet zu Fig. 4 und Fig. 5 je zwei passende äquivalente Terme. Fig. 4 Fig. 5 Forschungsauftrag 4: Umformen ohne Zeichnung Stellt eure Ergebnisse aus Forschungsauftrag 3 in Tabellenform zusammen: Rechteck Term 1 Term 1 Fig. 1 Fig. 2 Fig. 3 Fig. 4 Fig. 5 –– Findet eine Regel wie man Term 1 umformen muss, um Term 2 zu erhalten. –– Erfindet ähnliche Terme wie in Forschungsauftrag 1 oder 3, formt sie nach euren Regeln um und prüft durch eine passende Zeichnung, ob die Umformung richtig ist. Erkundungen DO01_312733781_K01_004_037.indd 7 7 21.10.2014 12:09:19 1 Terme mit mehreren Variablen a b c c b a a b c c Das Bild „6 komplementäre Farbreihen“ wurde von Richard Paul Lohse gemalt. Hierbei beschreiben Terme Farbflächen. Puzzeln ist erlaubt. a2+ b c + b c + a 2+ b c + b c = 2 a2 + 4 b c 2 a b + b + a c + c 2+ a b + a c = b2 + c2 + 2 a b + 2 a c b a Der Term 12 · a · b + 4 · a2 – 10 · a · b enthält mehrere Variablen. Durch Einsetzen von Zahlen für die Variablen kann man Werte des Terms berechnen. Beispielsweise erhält man für a = 5 und b = 3 den Wert 12 · 5 · 3 + 4 · 52 – 10 · 5 · 3 = 180 + 100 – 150 = 130. In Fig. 1 ist die Gleichwertigkeit der Ter me 2 · a · b + 3 · a · b und 5 · a · b dar gestellt. Die Äquivalenz der beiden Terme lässt sich auch rechnerisch durch Anwen dung des D istributivgesetzes nachweisen: 2 · a · b + 3 · a · b = (2 + 3) · a · b = 5 a b. Man kann die Summanden des Terms 2 · a · b + 3 · a · b zusammenfassen, da nach dem Ausklammern von a · b in der Klammer nur noch Zahlen stehen. Fig. 1 Der Flächeninhalt des Quaders, dessen Netz in Fig. 2 dargestellt ist, setzt sich aus den beiden gelben Quadraten mit der Seite a und vier Rechtecken mit den Seiten a und b zusammen. Die Oberfläche kann daher mithilfe der Summe 2 · a · a + 4 · a · b berechnet werden. Statt a · a schreibt man kurz a 2 . Die Summanden 2 · a2 und 4 · a · b haben nur a und die Zahl 2 als gemeinsame Faktoren. Klammert man diese Faktoren aus, so erhält man 2 · a2 + 4 · a · b = 2 a (a + 2 b). In der Klammer stehen noch Variablen. Deshalb kann man die Summe 2 · a2 + 4 · a · b nicht zusammenfassen. Fig. 2 In Summen kann man nur solche Summanden zusammenfassen, bei denen gleiche Variablen in gleichen Potenzen vorkommen. In Produkten kann man gleiche Faktoren zu Potenzen zusammenfassen. Beispiel 1 Wert eines Terms berechnen Berechne den Wert des Terms (x + y) · y + x 2 für 1 a) x = 5 und y = 3, b)x = – 4 und y = _ 2  . Lösung 1 1 7 1 b)– 4 + _ 2   ·  _2  + (– 4)2 = –  _2  ·  _2  + 16 a) (5 + 3) · 3 + 5 2 = 8 · 3 + 25 = 24 + 25 = 49 57 7 = –  _4 + 16 = _  4   = 14,25 (  ) Potenzen sind Kurzschreibweisen für Produkte mit gleichen Faktoren: a2 · a3 = a · a · a · a · a = a5. Tritt in einem Term dieselbe Variable mehrmals auf, so muss man für sie jeweils dieselbe Zahl einsetzen. 8 DO01_312733781_K01_004_037.indd 8 21.10.2014 12:09:20 I Terme und Gleichungen Beispiel 2 Summanden zusammenfassen Vereinfache 8 x + 5 x y + 7 y – 2 x y + 0,4 y. Lösung 8 x + 5 x y + 7 y – 2 x y + 0,4 y = 8 x + 5 x y – 2 x y + 7 y + 0,4 y = 8 x + (5 – 2) x y + (7 + 0,4) y = 8 x + 3 x y + 7,4 y Summanden vertauschen Distributivgesetz anwenden Beispiel 3 Produkte als Potenzen schreiben, Summanden zusammenfassen Der Quader in Fig. 1 hat die Seitenlängen x, 4 x und 5 x. Gib einen Term zur Berechnung von Volumen und Oberflächeninhalt des Quaders an. Lösung Kommutativgesetz anwenden V = x · 4 x · 5 x gleiche F aktoren zu Potenzen zusammen = 4 · 5 · x · x · x fassen = 20 x3 O = 2 · x · 4 x + 2 · x · 5 x + 2 · 4 x · 5 x = 2 · 4 · x · x + 2 · 5 · x · x + 2 · 4 · 5 · x · x = 8 x2 + 10 x2 + 40 x2 = 58 x2 Die Variablen kommen in gleichen Potenzen vor, man kann die Summanden also zusammenfassen. Fig. 1 Beispiel 4 Terme zusammenfassen Fasse den Term so weit wie möglich zusammen. 5 x · 2 y · x2 · 4 – (5 y · 4 – 2 x3 y) Lösung: Produkte vereinfachen 5 x · 2 y · x2 · 4 – (5 y · 4 – 2 x3 y) = 5 · 2 · 4 · x · x2 · y – (5 · 4 · y – 2 x3 y) Klammer auflösen = 40 x3 y – (20 y – 2 x3 y) = 40 x3 y – 20 y + 2 x3 y Summanden vertauschen (Kommutativg.) = 40 x3 y + 2 x3 y – 20 y x3 y ausklammern (Distributivgesetz) = (40 + 2) x3 y – 20 y = 42 x3 y – 20 y Aufgaben 1 Übertrage die Tabelle in dein Heft und ergänze die fehlenden Werte. a) b) c) d) e) x 1 – 3 5 2,5 y – 5 3 – 1 – 3,5 z 3 – 5 3 1,5 f)  _23  –  _61   _61  g) –  _81  3,1 0,25 –  _25  5 –  _8   _21  x–y+z 2 Berechne den Wert des Terms 4 a (b – a) a) für a = 9 und b = – 4 3 2 b)für a = _ 4  und b =  _5 . 3 Setze für die Variablen a und b nacheinander die Zahlen – 4 und 5; 1,5 und –1; 1 1 –  _3  und  _2  sowie 0 und 4,2 ein. Berechne jeweils den Wert des Terms. a) 3 a – 7 b b)5 · (a + 2 b) 3 2 d) _4  a b c) a – 2 b e) (a – b) · (a + b) f) (a + b)2 1 Terme mit mehreren Variablen DO01_312733781_K01_004_037.indd 9 9 21.10.2014 12:09:20 4 Übertrage die Tabelle in dein Heft und berechne die fehlenden Werte. x y – 3 0,5 – 1,2 – 4 1 2 _   31  _   56   _31   _  3 x – 7 y 3 (x – 7 y) 3 (3 x – 7) y (3 x – 7) · y  _21  0 5 Fasse so weit wie möglich zusammen. a) v + 3 v – 5 w + 8 w c) 5 g h – 5 h g – 6 g k + 4 g h + 9 g k + h k 3 3 1 2 b)2,1 f + 4 f + 5,5 g – 5,1 f 2 x d)– 7 a x + 4 b x – 2 a x2 + 6 a2 x + 6 a x – a 1 e) _   10   u v +  _5  u2 –  _2  v2 +  _5  u v + 1  _2  u2 f) 1 – 2 s + 3 s2 + s3– 5 s + 2 s2+ 7 + 8 s 6 Löse die Klammern auf und fasse zusammen. a) 4 x + 7 · (x – 3) + 4 c) 3 · (r + 4 s) + 2 · (2 r – 3 s) e) x · (r + r) – 2 r · (x + s) – 3 s · (x – r) b)3 a – (a + b) d)2 · (a + b + c) – (a – 2 b) – c f) 3 a b · (a – b) – (a – b) · a b + 4 a b 7 Löse die Klammern auf und fasse anschließend so weit wie möglich zusammen. a) 2 b – (b – a) b)7 e – (4 + 3 e) – 1,5 2 2 1 ( 2 p ) c) _ 2  p + _  3  q –  _2 + q  2 f) 3,6 p – (q – 1,4 p + q 2 ) d)2 f – (g – f + 3 g + 2,5) e) a + a – (3 a + 5 a) g) a2+ ( b2 – 4 a2 + 7 b2  ) h)2  _5  x2– ( 3 y2 – 5,2 x2  ) + y2 i) 5 u v – u2 – (6 – u v) + u 2 b)0,5 p · 3 q · 4 r c) _  2  x ·  _7  y ·  _3  z d) _8  x4 ·  _9  x3 e) a3 · a f) 2 a2 · 6 a3 g)(– 2 a) · (– b) · (– 7) h)(– 3) 2 · a2 · (– a) i) (– x) 2 j) (– y) 3 k) (– x) 3 · ( – x2  ) l) _  3  a2 ·  _4  · (– a) · b 4 8 Schreibe die Produkte kürzer. a) 5 x · 6 y 3 2 1 2 6 4 3 9 Fasse so weit wie möglich zusammen. a) 3 · x – y · 5 d) y2 – (x + y · 5 · y) g)(– b) · (– a) + a b · 7 b)a · a + 6 a2 e) p · p3 + q · q · p h)e · f3 · (– e) + f2 · e2 · f c) e · f · 4 + f · 12 e f) x · x2 – ( y + y 2  ) i) – ( m3 + n · n )– ( m · 8 · m2   ) 10 Fasse den Term zuerst zusammen und berechne dann seinen Wert für a = 3; b = 4; x = 2 und t = 1. a) 3 a b + 2 a + 8 b a + a b · 6 + b · (– 3) – a c) 3,6 a t + 3 a t2 + 1,8 t a2+ 0,6 t a + t 2 – a · t b)4 x2+ 2 x + x 2 · (– 7) + 14 – 8 x – x · 13 · x d)5,6 a2 + t · 3,2 a – a t · 4 + a · 3,6 · a – t 11 a) Gib einen Term zur Berechnung des Flächeninhalts des Quadernetzes in Fig. 1 an. b)Der Flächeninhalt beträgt A = 36 cm2 . Die Seite b ist 2 cm lang. Berechne die Länge der Seite a und das Volumen des Quaders. c) Das Volumen eines Quaders, den man aus dem Netz in Fig. 1 bauen kann, beträgt 216 cm3, die Seite a ist 6 cm lang. Welche besondere Form hat der Quader? Fig. 1 10 DO01_312733781_K01_004_037.indd 10 21.10.2014 12:09:21 I Terme und Gleichungen 12 Berechne den Wert des Terms r · 4 s – ( r2+ s ) für r = 3 und s = – 6 ( r = –5 und s = _ 41    ). 13 Fasse die Terme so weit wie möglich zusammen. a) t – 8 r + 7 + 8 r d)3 a · 2 b + 4 a b b)a + 7 a2 – 6 b – 6 a · a e) 1,5 c · 4 d + 4,5 d · 2 c g)c d + c – (d + c · 3 d) h) _5  · e ·  _2  · f +  _2  · f · 3 e 2 5 3 Bist du schon sicher? c) 2 x + x 2 · (– 7) + 14 – x · 8 x f) 8 · (– g h) · 2,5 – (– 3 g h) 1 i) _  2  · p · 0,4 q + (– 4 q) (– 3,1 p) Lösungen | Seite 232 14 Übertrage in dein Heft und fülle die Lücken aus. b)57 z – º + 71 z = 12 z c) 5 a b + 11 a b – º + a b = a b a) 5 a + º – 7 a = 25 a 2 e) 6 x y + 27 x – º + ¹ x = 11 x f) º + ¹ + a 2 + 3 a2= 0 d) a2 + º + 13 b + a + ¹ = a 15 In Marcos Heft stehen die folgenden Umformungen. Überprüfe die Richtigkeit der Umfor mungen, beschreibe die Fehler und berichtige, falls nötig. 16 Tim formt den Term – x + 3 x2 – 2 x2 + 2 x zu 5 x2– 3 x um. Zur Kontrolle setzt er zunächst 0 und dann 1 in beide Terme ein und stellt fest, dass die Ergebnisse jeweils gleich sind. a) Zeige, dass Tims Umformung dennoch falsch ist. b)Suche nach weiteren Paaren von Termen, die nicht gleichwertig sind, obwohl das Ein setzen von Zahlen für die Variablen dies nahe legen könnte. 17 Susanne vereinfacht die angegebene Oberflächenformel für den Körper aus Fig. 1 und erläutert ihre Umformungsschritte: „Gegeben ist die Formel O = 3 · 6 a2 – 2 a · a – 2 a · a. Diese beschreibt die Oberfläche des Körpers, der aus den drei Würfeln zusammengesetzt ist. Ein Würfel hat die Oberfläche 6 a2; also haben alle Würfel zusammen die Oberfläche 3 · 6 a2 . Nun wurden hierbei die inneren aneinander stoßenden Flächen der Würfel jeweils mitgezählt – und zwar zwei Flächen pro Grenzfläche. Diese müssen wieder abge zogen werden. Durch den Term – 2 a · a – 2 a · a geschieht dies. Zusammengefasst ergibt sich: O = 3 · 6 a2 – 2 a · a – 2 a · a = 18 a2 – 2 a2 – 2 a2 = 14 a2.“ Erstelle zu der angegebenen Formel eine passende Skizze. Vereinfache dann die Formel und erläutere die Umformungen wie Susanne in einem kleinen Aufsatz. a) U = a + 2 · a + b + 3 · a + 5 · b + c b)A = x 2 + 3 · x2 + 5 · x2 3 3 3 + c b a + c d)F = 6 a b + 3 a b + 2 c d – a b + 3 c d c) V = a b c + a + b c a + b Fig. 1 (1) c c — 2 a — 2 b a 18 a) Stelle möglichst viele verschiedene Terme zur Berechnung des Volumens und des Oberflächeninhalts der Körper in Fig. 2 auf. b)œ Vergleicht eure Terme innerhalb der Klasse. Welcher Term ist deiner Meinung nach der einfachste? Sind alle der gleichen Meinung? Stimmt in der Klasse darüber ab, welcher Term der einfachste ist. Bildet zu den vier oder fünf Termen mit den meisten Stimmen jeweils eine Gruppe. Jede Gruppe soll vor der Klasse begründen, warum gerade ihr Term der Sieger in der Kategorie „einfachster Term“ werden soll. 19 Zeichne einen Kreis mit dem Mittelpunkt M ( 4 | 2 ) und dem Radius 3. Zeichne eine (2) c c — 3 a — 3 b — 3 b a Fig. 2 Kannst du das noch? assante p durch die Punkte P ( 0 | 4 ) und Q P ( 2 | 6 ). a) Konstruiere alle Tangenten an den Kreis, die parallel zu p verlaufen. b)Konstruiere alle Tangenten an den Kreis, die senkrecht zu p verlaufen. Lösung | Seite 232 1 Terme mit mehreren Variablen DO01_312733781_K01_004_037.indd 11 11 21.10.2014 12:09:22