Cours

ECT 1 lyc´ee Condorcet 2013-2014
Espaces probabilis´es finis - COURS
´s finis
Espaces probabilise
Historiquement, la th´eorie des probabilit´es s’est d´evelopp´ee en lien avec les jeux de hasard, en particulier
les jeux de d´es, et la r´epartition des gains. Le d´eveloppement des probabilit´es commen¸ca au XVI`eme si`ecle,
puis Pascal et Fermat lanc`erent vraiment ce nouveau domaine. Elles sont appliqu´ees aujourd’hui `a des domaines tr`es vari´es comme la finance, l’estimation des risques pour les assurances, la physique mol´eculaire. . .
I. Mod´
elisation d’une situation al´
eatoire
1) Exp´
erience al´
eatoire
Les probabilit´es s’´etudient sur une exp´
erience al´
eatoire, c’est-`a-dire une exp´erience dont on ne peut pas
pr´edire avec certitude le r´esultat avant de l’avoir effectu´ee.
Par exemple lancer un d´e, mesurer la dur´ee de vie d’un appareil, tirer `a pile ou face, ´evaluer le temps
d’attente d’un autobus, le nombre de coups de t´el´ephone journaliers `a un standard . . .
On peut d´eterminer l’ensemble des r´esultats possibles ou issues de l’exp´erience : cet ensemble est appel´e
univers des possibles, ou encore espace fondamental, on le note Ω (≪ omega ≫).
Il y a plusieurs fa¸cons de noter un ensemble, cela d´epend de la mani`ere dont on le d´ecrit :
Exemples :
Exp´erience al´eatoire 1 : lancer une pi`ece. les issues possibles sont Pile, not´ee P, et Face, not´ee F, on a donc
Ω = {P, F }.
Exp´erience al´eatoire 2 : lancer trois fois de suite une pi`ece.
On peut obtenir PPF, FPF . . . : une succession de 3 lettres, chacune des lettres pouvant ˆetre P ou F.
On note l’ensemble de ces issues Ω = {P ; F } × {P ; F } × {P ; F } (≪ croix ≫) ou encore Ω = {P ; F }3 .
Exp´erience al´eatoire 3 : lancer un d´e. Les issues possibles qui forment Ω sont tous les nombres entiers entre 1
et 6, on peut noter Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} (≪ Ω est form´e des ´
el´
ements 1, 2, 3, 4, 5 et 6 ≫) ou Ω = [[1; 6]]
(ensemble des nombres entiers entre 1 et 6).
/Ω
2 est une issue possible de l’exp´erience : 2 ∈ Ω, mais 9 n’est pas une issue de cette exp´erience : 9 ∈
(autrement dit, 9 n’est pas un ´el´ement de l’ensemble Ω).
Exp´erience al´eatoire 4 : lancer deux d´es discernables num´erot´es chacun de 1 `a 6.
Ω est l’ensemble des successions de 2 ´el´ements de [[1, 6]], on peut le noter [[1, 6]]2 ce sont les couples
d’entiers ω = (x, y) tels que 1 6 x 6 6 et 1 6 y 6 6.
Ω = {(x, y), x ∈ [[1; 6]] et y ∈ [[1; 6]]}
Exp´erience al´eatoire 5 : brasser un jeu de 32 cartes.
Ω est ici l’ensemble des classements possibles des 32 cartes
Exp´erience al´eatoire 6 : dans une urne se trouvent 6 boules noires num´erot´ees de 1 `a 6 et 4 boules blanches
num´erot´ees de 7 `
a 10 : on tire une boule dans cette urne.
Selon que l’on s’int´eresse `
a la couleur de la boule ou `a son num´ero, l’espace fondamental est Ω = {B, N }
ou [[1; 10]].
Exp´erience al´eatoire 7 : dans un central t´el´ephonique, on compte chaque jour le nombre d’appels re¸cus.
L’espace fondamental est Ω = N.
Pour le cours de premi`ere ann´ee, Ω sera un ensemble fini : il y a un nombre fini d’issues possibles
`a l’exp´erience. Card(Ω) est le nombre d’´el´ements de l’ensemble Ω , qui repr´esente donc le nombre d’issues
possibles `a l’exp´erience.
Certaines issues sont plus susceptibles de se produire que d’autres, elles sont plus probables. La fr´equence
th´eorique de r´ealisation d’une issue est appel´ee probabilit´
e de cette issue.
On peut dans de nombreux cas la calculer (c’est l’objectif de la th´eorie des probabilit´es), ou en trouver une
valeur approch´ee en r´ealisant l’exp´erience un grand nombre de fois (cela rejoint les statistiques).
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´ enements
2) Ev´
Dans l’exp´erience al´eatoire 4, l’affirmation ≪ on obtient un total de points au moins ´egal `a 10 ≫, peut ˆetre
juste, ou fausse, selon le r´esultat de l’exp´erience. Cette affirmation est un ´
ev´
enement, compos´e des issues
(4; 6); (5; 5); (5; 6); (6; 4); (6; 5) et (6; 6).
Si on appelle A cet ´ev´enement, on a alors A = {(4; 6); (5; 5); (5; 6); (6; 4); (6; 5); (6; 6)} que l’on peut aussi
noter A = {(x, y) ∈ Ω, x + y > 10} (≪ ensemble des couples (x, y) tels que x + y > 10 ≫).
A est donc un ensemble dont tous les ´el´ements sont aussi dans Ω : on dit que A est une partie de Ω, ou
un sous-ensemble de Ω, et on note A ⊂ Ω.
L’issue (5; 6) est favorable `
a l’´ev´enement A, mais l’issue (2; 4) lui est d´
efavorable :
cela se traduit par (5; 6) ∈ A mais (2; 4) ∈
/ A.
Un ´
ev´
enement est une affirmation li´ee au r´esultat de l’exp´erience.
Il est repr´esent´e par l’ensemble des issues (de l’univers) qui lui sont favorables, c’est-`a-dire par une
partie de Ω.
L’ensemble des parties de Ω se note P(Ω).
Remarques :
− un ´ev´enement qui ne contient qu’une seule issue est appel´e ´
ev´
enement ´
el´
ementaire.
− un ´ev´enement qui n’est jamais r´ealis´e est appel´e ´
ev´
enement impossible : aucune issue ne lui est
favorable, il est repr´esent´e par l’ensemble vide, not´e ∅.
− un ´ev´enement qui est toujours r´ealis´e est un ´
ev´
enement certain : toutes les issues possibles lui sont
favorables, il est donc repr´esent´e par Ω.
D´
efinition.
Soient Ω un univers, et A et B deux ´ev´enements, repr´esent´es par des parties de Ω.
− l’´
ev´
enement contraire de A est l’´ev´enement ≪ A
¯ et est form´e des
n’est pas r´ealis´e ≫, il est not´e A,
issues qui ne sont pas favorables `
a A.
L’ensemble des issues de A¯ est l’ensemble
compl´
ementaire de A.
− la r´
eunion des ´ev´enements A et B est l’´ev´enement
≪ A est r´
ealis´e ou B est r´ealis´e ≫, il se note A ∪ B (le
ou est inclusif) : c’est l’ensemble des issues qui sont
favorables `
a A ou favorables `
a B.
A ∪ B est l’ensemble qui r´eunit les ´el´ements de A et
ceux de B.
Les fameux dessins patates . . .
− l’intersection des ´ev´enements A et B est l’´ev´enement
≪ A et B sont r´
ealis´es ≫, il se note A ∩ B : c’est
l’ensemble des issues qui sont favorables `a la fois `a A
et `a B.
A ∩ B est l’ensemble des ´el´ements qui sont communs
`a A et `
a B.
Lorsque A ∩ B = ∅, alors A et B n’ont aucune issue en commun : les deux ´ev´enements sont dits
incompatibles.
Propri´
et´
e.
¯ = Card(Ω) − Card(A)
Si A et B sont deux parties de Ω, alors Card(A)
et Card(A ∪ B) = Card(A) + Card(B) − Card(A ∩ B) dessin
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Exemples :
dans l’exp´erience al´eatoire 4 on d´efinit les ´ev´enements suivants :
− A : ≪ La somme obtenue est sup´erieure ou ´egale `a 10 ≫,
− B : ≪ Le nombre obtenu avec le premier d´e est 6 ≫,
− C : ≪ On obtient deux nombres impairs ≫,
alors − les ´ev´enements B et C sont incompatibles, A et B ne le sont pas, en effet A ∩ B =
{(6; 4); (6; 5); (6; 6)}
− A ∪ B ={(6; 1); (6; 2); (6; 3); (6; 4); (6; 5); (6; 6); (5; 5); (5; 6); (4; 6)}
− A¯ : ≪ la somme obtenue est strictement inf´erieure `a 10 ≫
C¯ :
≪
on obtient au moins un nombre pair sur les 2 ≫
− A ∩ C ={(5; 5)}
contraire de ≪ la somme est plus grande que 10 et on a 2 nombres impairs ≫, contraire de
somme est plus grande que 10 ≫. . .
Propri´
et´
e.
≪
x = 6 ou la
R`egles de calcul : ∅ = Ω ; Ω = ∅ ; A ∪ B = A ∩ B et A ∩ B = A ∪ B .
le contraire de la r´eunion est l’intersection des contraires, et le contraire de l’intersection est la
r´eunion des contraires ≫
≪
faire le contraire du A ∪ B et du A ∩ C d’au dessus
Remarques : Soient Ω un univers, A1 , A2 , A3 et A4 des ´ev´enements.
− La r´eunion de tous ces ´ev´enements : A1 ∪ A2 ∪ A3 ∪ A4 , que l’on peut noter
4
[
Ak , est l’´ev´enement
k=1
≪ au moins un des ´
ev´enements A1 ou A2 ou A3 ou A4 est r´ealis´e ≫ :
c’est l’ensemble des issues qui sont dans l’un ou l’autre des Ak (ou dans plusieurs `a la fois).
4
\
Ak est l’´ev´enement ≪ tous les ´ev´enements A1 et A2 et A3
− L’intersection A1 ∩ A2 ∩ A3 ∩ A4 not´ee
k=1
et A4 sont r´ealis´es ≫ :
c’est l’ensemble des issues qui sont dans tous les Ak `a la fois.
Exemple : dans la situation de l’exp´erience al´eatoire 6 on effectue maintenant plusieurs tirages successifs
avec remise, en observant les couleurs des boules.
On note Bk l’´ev´enement ≪ la boule tir´ee au k i`eme tirage est blanche ≫.
Exprimer en fonction des (Bk )k∈N∗ les ´ev´enements suivants :
≪
au moins une boule blanche est tir´ee au cours des 5 premiers tirages ≫ : B1 ∩ B2 ∩ B3 ∩ B4 ∩ B5
≪
au cours des 4 premiers tirages, toutes les boules tir´ees sont noires ≫ : B¯1 ∩ B¯2 ∩ B¯3 ∩ B¯4
≪
au moins une boule noire est tir´ee au cours des 10 premiers tirages ≫ :
10
[
Bk ou
T10
k=1 Bk
k=1
D´
efinition.
On dit que A implique B si la r´ealisation de A entraˆıne celle de B :
toutes les issues de A sont favorables aussi `a B.
A ⊂ B si tous les ´el´ements de A sont aussi dans B.
Exemples :
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3) R´
esum´
e
Vocabulaire des probabilit´
es
Vocabulaire des ensembles
Notations
espace fondamental, univers
ensemble
Ω
issue
´el´ement
ω
´ev´enement
partie de Ω
A, B, ...
tous les ´ev´enements
ensemble des parties de Ω
P(Ω)
l’issue ω r´ealise l’´ev´enement A
ω est un ´el´ement de la partie A
ω∈A
´ev´enement certain
espace entier
Ω
´ev´enement impossible
partie vide
∅
´ev´enement contraire
partie compl´ementaire
A ou AC ou ∁Ω A
et
intersection
∩
´ev´enements incompatibles
parties disjointes
A1 ∩ A2 = ∅
ou (non exclusif)
r´eunion
∪
implication
inclusion
⊂
(ω ∈ Ω)
Notations des ensembles :
{. . . ; . . . . . . ; . . .} : ´enum´eration des ´el´ements ; par exemple
[. . . ; . . .] : intervalle ; par exemple [−1; 4] est l’ensemble des nombres mˆeme `a virgule, entre −1 et 4.
[[. . . ; . . .]] : intervalle de nombres entiers ; p. ex. [[3; 7[[= {3; 4; 5; 6}
{. . . ; . . . . . . ; . . .}3 : ensemble des successions ordonn´ees de 3 ´el´ements de l’ensemble {. . . ; . . . . . . ; . . .} ; par
exemple {P ; F }3 = {P P P ; P P F ; P F P ; F P P ; P F F ; F P F ; F F P ; F F F }
de mˆeme, [[1; 4]]2 : ensemble des successions ordonn´ees de 2 nombres entiers entre 1 et 4 : [[1; 4]]2 =
{11; 12; 13; 14; 21; 22; . . .}
4) Exercice
Exp´erience al´eatoire 2 : trois lancers de pi`ece successifs.
1. D´eterminer Card(Ω). arbre si besoin
2. On consid`ere l’´ev´enement A : ≪ la premi`ere pi`ece am`ene Pile ≫, et l’´ev´enement B : ≪ Pile est arriv´e
au moins deux fois ≫.
Donner toutes les issues de A et celles de B, puis d´eterminer les ´ev´enements A ∪ B, A ∩ B et B.
3. On note C l’´ev´enement ≪ tous les lancers ont donn´e Pile ≫, et D ≪ aucun lancer n’a donn´e Pile ≫.
D´ecrire par des phrases les ´ev´enements contraires de C et de D ?
C et D sont-ils compatibles ?
implication ? C et A
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II. Probabilit´
es
On rappelle que pour toute la fin du cours, l’univers Ω est un ensemble fini.
P(Ω) est l’ensemble des parties de Ω, qui repr´esente donc tous les ´ev´enements possibles.
Pour compl´eter l’´etude d’une exp´erience al´eatoire, il nous reste `a associer `a tout ´ev´enement A dans
l’univers Ω ses chances d’ˆetre r´ealis´e : c’est la probabilit´
e de A, que l’on notera P(A).
1) Qu’est-ce qu’une probabilit´
e?
D´
efinition.
On appelle probabilit´
e sur Ω une application P : P(Ω) → [0; 1]
A
7
→
P(A)
qui v´erifie les propri´et´es :
(i) la probabilit´e d’un ´ev´enement est un nombre entre 0 et 1 :
pour tout ´ev´enement A, P(A) ∈ [0; 1] .
≪
P associe `
a tout ´ev´enement A de
P(Ω), un nombre P(A) dans [0; 1] ≫
(ii) la probabilit´e de l’´ev´enement certain Ω est 1 : P(Ω) = 1 .
(iii) si A et B sont incompatibles, la probabilit´e de leur r´eunion est la somme des probabilit´es de
chacun : si A ∩ B = ∅, alors P(A ∪ B) = P(A) + P(B) .
Alors (Ω; P(Ω); P ) est un espace probabilis´
e fini.
En fait, si l’on connaˆıt la probabilit´e de chacune des issues, on peut trouver la probabilit´e de tous les
≪
≫
´ev´enements : par exemple, dans l’exp´erienceal´eatoire 2, avec
A : la premi`
ere pi`ece am`ene Pile (voirI.4)),
on a P(A) = P {P F F ; P F P ; P P F ; P P P } = P {P F F } + P {P F P } + P {P P F } + P {P P P } .
Propri´
et´
e.
La probabilit´e d’un ´ev´enement est ´eP
gale `a la somme des probabilit´es des ´ev´enements ´el´ementaires (ou
issues) qui le constituent : P(A) = ω∈A P({ω}).
En particulier, pour d´efinir une probabilit´e, il suffit de choisir les valeurs de P({ω}) pour chaque issue
possible ω : il faut leur donner des valeurs entre 0 et 1, et s’assurer que la somme fait 1.
Autrement dit : si Ω = {ω1 , ω2 , . . . , ωn } et P({ωi }) = pi , alors il faut que p1 + p2 + . . . + pn = 1.
Remarque : choisir les probabilit´es de chaque issue revient `a choisir un mod`
ele probabiliste pour notre
exp´erience al´eatoire. Le choix d’un mod`ele probabiliste d´epend des modalit´es de l’exp´erience al´eatoire.
Par exemple, sur un lancer de pi`ece `
a Pile ou Face, on a toujours Ω = {P ; F }, mais on peut avoir plusieurs
1
mod`eles selon la pi`ece : si elle est ´equilibr´ee, P(P ) = P(F ) = , mais on pourrait avoir P(P ) = 0, 4 et
2
P(F ) = 0, 6 si elle est truqu´ee.
Exercice : Une pi`ece est truqu´ee de telle sorte qu’il y a deux fois plus de chances d’obtenir Face que Pile.
D´eterminer l’espace probabilis´e associ´e `
a cette situation.
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2) Exemple fondamental : cas d’´
equiprobabilit´
e
Dans certaines situations, il se peut que les conditions de l’exp´erience permettent d’affirmer que toutes
les issues ont la mˆeme probabilit´e : d´e ´equilibr´e, boules indiscernables, choix au hasard . . .
Dans le cas d’´equiprobabilit´e, la probabilit´e associ´ee `a l’univers Ω est appel´ee probabilit´
e uniforme,
1
.
elle prend la mˆeme valeur pour chaque issue : pour toute issue ω, P({ω}) =
Card(Ω)
Card(A)
nombre d’issues favorables
Alors pour tout ´ev´enement A de P(Ω), P(A) =
=
Card(Ω)
nombre total d’issues
Exemples :
• Dans l’exp´erience o`
u on lance un d´e ´equilibr´e, le mot ≪ ´equilibr´e ≫ sous-entend qu’il y a ´equiprobabilit´e
des diff´erentes issues de l’univers [[1; 6]], et donc chaque nombre sort avec une probabilit´e 16 . On parle aussi
de d´es non pip´es.
3
1
Alors, si A est l’´ev´enement ≪ obtenir un nombre pair ≫, Card(A) = . . . donc P(A) = =
6
2
2
1
De mˆeme P(≪ obtenir un nombre plus grand que 5 ≫) = = .
6
3
Remarque : que le d´e soit ´equilibr´e ou non, Ω = [[1; 6]] toujours, ce sont ensuite les probabilit´es qui changent
´eventuellement.
• Dans l’exp´erience al´eatoire 6 de la boˆıte `
a 6 boules noires et 4 boules blanches, toutes indiscernables : il y
a ´equiprobabilit´e sur chaque boule, c’est-`a-dire sur Ω = [[1; 10]].
Il y a alors . . . . . . . . . issues favorables `a l’´ev´enement
P(≪ obtenir une boule noire ≫) =
≪
obtenir une boule noire
≫
, donc
Ainsi, il n’y a pas ´equiprobabilit´e si l’on consid`ere l’univers Ω = {N; B} : P(N) = . . . . . . et P(B) = . . . . . .
Remarque : dans le cas d’´equiprobabilit´e, les calculs de probabilit´es d’´ev´enements se r´eduisent `a des calculs
de cardinaux d’ensembles, c’est ce que l’on appelle le d´
enombrement, et c’est l’objet du prochain chapitre.
3) Formules g´
en´
erales
Propri´
et´
e.
Soit (Ω; P(Ω); P) un espace probabilis´e fini, alors :
⋆ P(∅) = 0
¯ = 1 − P(A) . penser aux cardinaux, mˆeme
⋆ pour tout ´ev´enement A, P(A)+P A = 1, ou P(A)
formule
⋆ pour tous ´ev´enements A et B, P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B) .
¯ .
⋆ pour tous ´ev´enements A et B, P(B) = P(B ∩ A) + P(B ∩ A)
⋆ si A implique B, c’est-`a-dire si A ⊂ B, alors P(A) 6 P(B) .
Exemple : exp´erience 4, lancer deux d´es ´equilibr´es.
1. On avait d´efini l’´ev´enement A : ≪ la somme obtenue est sup´erieure ou ´egale `a 10 ≫. Calculer P(A).
2. On d´efinit D ≪ obtenir deux nombres diff´erents ≫. Calculer P(D).
3. On pose E ≪ obtenir deux nombres pairs ou inf´erieurs ou ´egaux `a 2 ≫. D´eterminer P(E).
4. autre calcul, avec implication par exemple.
FAIRE LES SCE DANS CHAPITRE INDEP COND.
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