C ONTRÔLE N°1 17/10/14 TS3 & TS4 Exercice 1 ( Division euclidienne - Question de cours) : On rappelle la définition et propriété suivante : Propriété et définition : Soit a un entier relatif et b un entier naturel non nul. Il existe un unique couple d’entiers (q; r ) tels que a = bq + r avec 0 6 r < b. Cette écriture s’appelle la division euclidienne de a par b, q est le quotient et r est le reste de cette division euclidienne. On admet ici l’existence d’un tel couple. Démontrer l’unicité de celui-ci. Exercice 2 (Récurrence vs congruence) : Démontrer de deux façons que pour tout entier naturel n, 22n − 1 est divisible par 3. 1. A l’aide d’un raisonnement par récurrence. 2. A l’aide des congruences. Exercice 3 (Équation modulo 8) : En s’appuyant sur un tableau des congruences modulo 8 de 3x suivant celles de x, déterminer l’ensemble des entiers relatifs x solutions de l’équation : 3x ≡ 7 [8] Exercice 4 (Triplet pythagoricien) : On appelle triplet pythagoricien, les entiers naturels x, y et z vérifiant l’égalité x 2 + y 2 = z 2 . Montrer que dans un triplet pythagoricien, l’un des nombres x ou y est un multiple de 3. Exercice 5 (Critère de divisibilité par 7) : 1. Justifier brièvement que : 103 ≡ −1 [7]. 2. En remarquant que : 120 945 631 311 519 = 120 × 1012 + 945 × 109 + 631 × 106 + 311 × 103 + 519 déterminer si 120 945 631 311 519 est divisible par 7. Remarque : Ne faites que modérément confiance à votre calculatrice. Le nombre proposé est suffisamment grand pour atteindre les capacités limites de votre calculatrice, cette dernière pourrait alors vous donner un résultat erroné. Exercice 6 (Critère de divisibilité par 7) : 1. Soit n un entier naturel. Justifier qu’il existe deux entiers naturels a et b, avec 0 6 b < 10 tels que n = 10a + b. 2. Soit n un entier naturel s’écrivant sous la forme : n = 10a + b où a et b sont des entiers naturels avec 0 6 b < 10. On définit alors le nombre n 0 par : n 0 = a − 2b Démontrer que si n 0 est divisible par 7, alors n est également divisible par 7. 3. La réciproque est-elle vraie ? C’est-à-dire, a-t-on : si n est divisible par 7, alors n 0 est divisible par 7 ? 4. En utilisant ce critère de divisibilité par 7, démontrer que 31976 est divisible par 7. 1 É LÉMENTS DE C ORRECTION : C ONTRÔLE N°1 Corrigé de l’exercice 1 : Voir cours. On suppose qu’il y en a deux. . . Corrigé de l’exercice 2 : 1. Un morceau de l’hérédité : 22(n+1) − 1 = 22n × 22 − 1 = 22n × 4 − 1 = (22n − 1 + 1) × 4 − 1 = (22n − 1) × 4 + 4 − 1 = (22n − 1) × 4 + 3 = 3k × 4 + 3 = 3(4k + 1) 2. 22n = (22 )n = 4n et 4 ≡ 1 [3] permet de fini très vite. Corrigé de l’exercice 3 : Le tableau des congruences établit que 3x ≡ 7 [8] si et seulement si x ≡ 5 [8]. L’ensemble des solutions est constitué des nombres de la forme 5 + 8k où k ∈ Z. Corrigé de l’exercice 4 : Fait en classe. Corrigé de l’exercice 5 : 120 × 1012 + 945 × 109 + 631 × 106 + 311 × 103 + 519 ≡ 120 × 1 + 945 × (−1) + 631 × 1 + 311 × (−1) + 519 [7] ≡ 120 − 945 + 631 − 311 + 519 [7] ≡ 14 [7] Comme 14 est divisible par 7, alors 120 945 631 311 519 l’est aussi. Corrigé de l’exercice 6 : 1. L’unicité dans l’écriture de la division euclidienne de n par 10. 2. Si n 0 est divisible par 7, alors a − 2b ≡ 0 [7]. On en déduit que 10a − 20b ≡ 0 [7] (multiplication par 10). Or, −20 ≡ 1 [7], donc 10a + b ≡ 0 [7]. Ce qui prouve que n est divisible par 7. 2