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QUELQUES EXERCICES SUR LA DIVISION EUCLIDIENNE C ORRECTION
EXERCICE 1 :
Soit un entier naturel n qui, divisé par 23, donne pour reste égal 1 et qui, divisé par 17, donne un
quotient égal au reste.
On a donc n = 23q + 1 et n = 17r + r avec 0 ≤ r < 17.
On a ainsi 18r = 23q + 1 avec 0 ≤ r < 17. Comme il s’agit ici de déterminer un entier naturel (et pas
tous), on peut effectuer des tests avec des valeurs de r sachant que 0 ≤ r < 17.
r = 9 convient car 18 × 9 = 162 = 23 × 7 + 1.
Ainsi n = 162 convient.
EXERCICE 2 :
Dans la division euclidienne de 524 par un entier naturel non nul b, le quotient est 15 et le reste r .
On a donc 524 = 15b + r avec 0 ≤ r < 15.
On va donc travailler à partir des valeurs possibles de r .
Si r = 0 alors 15b = 524 or cette égalité est impossible car 15 ne divise pas 524.
Si r = 1 alors 15b = 523 or cette égalité est impossible car 15 ne divise pas 523.
Si r = 2 alors 15b = 522 or cette égalité est impossible car 15 ne divise pas 524.
On poursuit ainsi en balayant toutes les possibilités (possible à l’aide d’un tableur). Finalement, on
obtient comme seule possibilité r = 14 et b = 34.
EXERCICE 3 :
n désigne un nombre entier naturel.
On a 5n + 21 = 5(n + 3) + 6. Cette relation est une relation de division euclidienne si n + 3 > 6 donc si
n > 3.
Si maintenant n = 0, on a 5n + 21 = 21 et n + 3 = 3. La division euclidienne cherchée est donc
21 = 3 × 7 + 0.
Si n = 1, on a 5n + 21 = 26 et n + 3 = 4. La division euclidienne cherchée est donc 26 = 4 × 6 + 2.
Si n = 2, on a 5n + 21 = 31 et n + 3 = 5. La division euclidienne cherchée est donc 31 = 5 × 6 + 1.
Finalement, le reste de la division euclidienne de 5n + 21 par n + 3 est égal à :
6 si n > 3, 0 si n = 0, 2 si n = 1, 1 si n = 2.
EXERCICE 4 :
Dans une division, le quotient et le reste ne changent pas quand on augmente le dividende de 68 et
le diviseur de 4.
Si on note a = bq + r la première division, on a donc pour la seconde a + 68 = (b + 4)q + r donc en
soustrayant les deux égalités, on obtient 68 = 4q et donc q = 17.
EXERCICE 5 :
Dans une division euclidienne par b, b ∈ N∗ , d’un entier positif m, le quotient est q et le reste r . Si
l’on augmente m de 5, le quotient augmente de 3 et le reste diminue de 1.
Si on note m = bq + r la première égalité, on a alors pour la seconde m + 5 = b(q + 3) + r − 1 donc en
soustrayant les deux égalités, on obtient 5 = 3b − 1 et donc b = 2.
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EXERCICE 6 :
n est un entier naturel et a = n(n 2 + 5).
Montrons que a est divisible par 2. Pour cela, on va raisonner par disjonctions de cas.
On sait que n peut s’écrire soit sous la forme n = 2q soit sous la forme n = 2q + 1.
Si n = 2q alors a = 2q(4q 2 + 5) = 2 × N avec N = q(4q 2 + 5) entier naturel donc a est divisible par 2.
Si n = 2q +1 alors a = (2q +1)((2q +1)2 +5) = (2q +1)(4q 2 +4q +6) = (2q +1)×2(2q 2 +2q +3) = 2× N
avec N = (2q + 1)(2q 2 + 2q + 3) entier naturel donc a est divisible par 2.
Finalement, on a prouvé que quelque soit n entier naturel, on a 2|a avec a = n(n 2 + 5).
Montrons que a est divisible par 3. Pour cela, on va raisonner par disjonctions de cas.
On sait que n peut s’écrire soit sous la forme n = 3q soit sous la forme n = 3q + 1 soit sous la forme
n = 3q + 2.
Si n = 3q alors a = 3q(9q 2 + 5) = 3 × N avec N = q(9q 2 + 5) entier naturel donc a est divisible par 3.
Si n = 3q +1 alors a = (3q +1)((3q +1)2 +5) = (3q +1)(9q 2 +6q +6) = (3q +1)×3(3q 2 +2q +2) = 3× N
avec N = (3q + 1)(3q 2 + 2q + 2) entier naturel donc a est divisible par 3.
Si n = 3q + 2 alors
a = (3q + 2)((3q + 2)2 + 5) = (3q + 2)(9q 2 + 24q + 9) = (3q + 2) × 3(3q 2 + 8q + 3) = 3 × N avec
N = (3q + 2)(3q 2 + 8q + 3) entier naturel donc a est divisible par 3.
Finalement, on a prouvé que quelque soit n entier naturel, on a 3|a avec a = n(n 2 + 5).
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