Universität Münster Institut für Mathematische Statistik Stochastik für Lehramtskandidaten SoSe 2015, Blatt 2 Löwe/Heusel Übungen Abgabetermin: Freitag, 24.4.2015, 10 Uhr Aufgabe 1 (4 Punkte) Die Herren A und B treffen sich zu einem Glücksspiel. Jeder zahlt zu Beginn einen Einsatz von 100 Euro. Dann wird mehrmals hintereinander eine faire Münze geworfen. Jeder Wurf, bei dem “Zahl” erscheint, bringt einen Punkt für Herrn A, für jeden “Wappen”-Wurf gibt es einen Punkt für Herrn B. Wer zuerst 10 Punkte erreicht, gewinnt den Einsatz von 200 Euro. Beim Spielstand von 8 : 9 für Herrn B fällt jedoch die Münze in einen Gulli und ist verloren. Da die beiden Herren keine weitere Münze dabei haben, verständigen Sie sich darauf, den Einsatz dem Spielstand entsprechend im Verhältnis 8 : 9 zu teilen. Welchen Betrag, meinen Sie, müsste Spieler B vernünftigerweise erhalten? Aufgabe 2 (4 Punkte) In einer geselligen Runde wird „gemeiert“. Dabei wird versucht, die Kombination zweier Würfel, die der Vorgänger geworfen hat, zu überbieten. Dabei bildet die größere Zahl immer die Zehnerstelle und die kleinere die Einerstelle (die Kombination entspricht also der Zahl „61“ und nicht „16“). Ein Pasch ist immer mehr wert als jede andere Kom< < < < < . Die Kombination und bination und es gilt somit die Zahl „21“ ist der „Meier“ und schlägt alle anderen Ergebnisse. (a) In diesem Fall wird allerdings mit nur einem perfekten Würfel gespielt. Der andere ist gezinkt, und es gilt für diesen P ( ) = 0, 2, P ( ) = 0, 2, P ( ) = 0, 1, P ( ) = 0, 1, P ( ) = 0, 3, P ( ) = 0, 1. Der Vorgänger hat eine „54“ geworfen. Wie wahrscheinlich ist es nun, dass der nächste Spieler ihn überbietet? (b) Nun wird der gezinkte Würfel nochmals verändert. Bei dem neuen Würfel sind die Wahrscheinlichkeiten für die Ergebnisse , , und wie beim alten Exemplar. Wie muss die Wahrscheinlichkeit für die aussehen, damit der Spieler eine „54“ in über 50% der Fälle übertrifft? Aufgabe 3 (4 Punkte) Bei einem Zufallsexperiment wird zunächst eine faire Münze geworfen. Zeigt die Münze Kopf, wirft man einen fairen Würfel, zeigt sie Zahl, wirft man einen unfairen Würfel, der mit Wahrscheinlichkeit 12 eine sechs würfelt (und mit einer Wahrscheinlichkeit von jeweils 1 die restlichen Zahlen). 10 Berechnen Sie die bedingte Wahrscheinlichkeit, dass die Münze Zahl zeigte, gegeben, dass mit dem Würfel eine sechs geworfen wurde. Geben Sie dabei auch einen geeigneten Wahrscheinlichkeitsraum für das Zufallsexperiment an. Aufgabe 4 (4 Punkte) Es seien (Ω, A, P) ein Wahrscheinlichkeitsraum und A, B ∈ A. Zeigen oder widerlegen Sie: (a) A und ∅ sowie A und Ω sind stochastisch unabhängig. (b) Es gelte A ⊆ B. Dann folgt: A und B sind stochastisch unabhängig ⇔ P (A) = 0 oder P (B) = 1. (c) Es sei 0 < P(B) < 1 und A ∩ B = ∅. Dann folgt: P (Ac |B) = P (A|B c ) ⇔ P (A) + P (B) = 1.
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