SS 2005 Blatt 4 Prof.W. Strauss, F. Schmid Übungen zur Vorlesung Wahrscheinlichkeit und Statistik Aufgabe 21. Ein Würfel werde n-mal geworfen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit fällt genau beim n-ten Wurf zum k-ten mal eine Eins (k = 1, . . . , n)? Aufgabe 22. Berechnen Sie unter der Annahme, dass alle Geburtsmonate gleichwahrscheinlich sind, die Wahrscheinlichkeit, dass 1. die Geburtstage von 12 Personen in 12 verschiedenen Monaten liegen. 2. die Geburtstage von 5 Personen in genau 2 Monate fallen. 3. von 8 Personen mindestens 2 im gleichen Monat Geburtstag haben. Aufgabe 23. Ein Produktionsverfahren zur Herstellung von bestimmten elektronischen Bauteilen liefert im Mittel 10% Ausschuß, 50% Produkte zweiter und 40% Produkte erster Wahl. Aus der laufenden Fertigung werden 5 Bauteile entnommen. Unter geeigneten Annahmen (“Ziehen mit Zurücklegen”) berechne man die Wahrscheinlichkeit dafür, daß sich unter den 4 entnommenen Bauteilen 1. ausschließlich Bauteile erster Wahl befinden, 2. kein Ausschuß und höchstens zwei Bauteile zweiter Wahl befinden, 3. mindestens drei Bauteile erster Wahl befinden. Aufgabe 24. Ein Skatblatt besteht aus 32 Karten. Die Karten unterteilen sich in die Farben Kreuz, Pik, Herz und Karo. In jeder Farbe gibt es die Karte As, König, Dame, Bube, Zehn, Neun, Acht und Sieben. Beim Skatspiel erhält jeder der drei Spieler zehn Karten. Die restlichen zwei Karten bilden ein Extra-Häufchen, das man Skat nennt. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit für folgende Ereignisse: 1. Jeder Spieler hat genau ein As. 2. Mindestens ein Spieler hat genau zwei Buben. 3. Zwei Spieler haben keinen Buben. Aufgabe 25. Jemand trägt in seiner rechten und linken Hosentasche je eine Streichholzschachtel mit je n Streichhölzern. Zum Anzünden einer Zigarette wählt er zufällig eine Steichholzschachtel aus. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass in einer Schachtel noch genau r Streichhölzer sind, wenn er aus der anderen Schachtel gerade das letzte Holz herausnimmt? Aufgabe 26. Schriftlich Ein etwas argloser Briefträger verteilt n Briefe mit unterschiedlichen Adressen auf die n zugeörigen Briefkästen, allerdings achtet er beim Einwerfen kein bisschen auf die Adresse. Wie gross ist dabei die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens ein Brief seinen Adressaten erreicht? Zeigen Sie das die Wahrscheinlichkeit für n → ∞ gegen 1 − 1e konvergiert. Hinweis: Vielleicht hilft Ihnen die Formel von Poincare-Sylvestre: P n ∪ Ai = i=1 n X X k=1 1≤i1 <···<ik ≤n (−1)k−1 P (Ai1 ∩ · · · ∩ Aik ), ∀n ≥ 2. P Aufgabe 27. Zusatz In dem Lemma von Borell-Cantelli geht als Voraussetzung ∞ j=1 P (Aj ) < ∞ ein. Es reicht also offensichtlich nicht, dass limj→∞ P (Aj ) = 0 gilt. Finden Sie ein Beispiel in dem diese Eigenschaft erfüllt ist und die Aussage von Borell-Cantelli dennoch nicht gilt. 2