Blatt 13 - Fakultät für Mathematik

Sommersemester 2015
TU Dortmund
Fakultät für Mathematik
Prof. Dr. M. Voit
Dipl.-Wirt.Math. D. Kobe
Dipl. Math. S. Glaser
Stochastik I
Blatt 13
Abgabe der Hausaufgaben:
Mittwoch, 01.07.2015, um 10.15 Uhr, im zugehörigen Briefkasten Ihrer
Übungsgruppe.
Aufgabe 1
(8 Punkte)
Bestimmen Sie für die zeithomogenen Markov-Ketten zu folgenden Übergangsmatrizen alle invarianten Verteilungen sowie das Langzeitverhalten
lim S n
n→∞
und skizzieren Sie die zugehörigen Übergangsgraphen.
a)


1
0
0
0
 1/3 1/3 1/3 0 

S=
 0 1/3 1/3 1/3 
0
0
0
1
b)


0
0 1/2 1/2
 0
0 1/2 1/2 

S=
 2/3 1/3 0
0 
1/2 1/2 0
0
c)



S=


mit pi , qi > 0, pi + qi = 1.
q 1 p1 0 0 0
q 2 0 p2 0 0
q 3 0 0 p3 0
q 4 0 0 0 p4
1 0 0 0 0






Aufgabe 2
(4 Punkte)
Ein Gen tritt in der menschlichen Bevölkerung in den Kombinationen AA, Aa, aa
als Genotypen mit den relativen Häufigkeiten u, 2v, w > 0 auf. (Es gilt also
u + 2v + w = 1.) Ist das Gen nicht geschlechtsgebunden, so überträgt beim Fortpflanzungsvorgang jedes Elternteil ein Gen seines Genpaares, und zwar wird jedes
der beiden Gene gerade mit Wahrscheinlichkeit 0.5 ausgewählt, unabhängig vom
anderen Elternteil. Hat etwa der Vater ein Genotyp Aa und die Mutter aa, so hat
der Nachkomme jeweils mit Wahrscheinlichkeit 0, 5 den Gentyp Aa bzw. aa. Denkt
man sich Vater und Mutter als unabhängig voneinander zufällig ausgewählt (was
bei einem Gen, das keinen Einfluss auf die Partnerwahl hat, akzeptabel erscheint),
so wird beispielsweise die Wahrscheinlichkeit, dass Vater und Mutter Gentyp aa
haben, gerade w2 sein.
a) Bestimmen Sie die relativen Häufigkeiten u1 , 2v1 , w1 von AA, Aa, aa in der
ersten Generation von Nachkommen
b) Bestimmen Sie für beliebige k ∈ N die relativen Häufigkeiten uk , 2vk , wk von
AA, Aa, aa in der k-ten Generation von Nachkommen.
Hinweis: Bestimmen Sie zuerst u2 , 2v2 , w2 , und schließen Sie dann auf den
allgemeinen Fall.
Aufgabe 3
(4 Punkte)
Zwei Spieler werfen unabhängig voneinander eine faire Münze mit den Seiten
K = Kopf und Z = Zahl, bis zum ersten Mal die Reihung (Z, Z, Z) oder
die Reihung (Z, K, Z) auftritt. Im ersten Fall gewinnt der erste Spieler, im zweiten Fall der andere Spieler. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass der erste
Spieler gewinnt.
Tipp: Betrachten Sie eine Markov-Kette mit den folgenden Übergangswahrscheinlichkeiten:
Aufgabe 4
(4 Punkte)
Betrachten Sie die Markov-Kette (Xn )n≥0 auf E = {1, 2, 3, 4} mit Start in 1 zur
Zeit 0 und mit folgendem Übergangsgraphen
Berechnen Sie:
a) P (Xn = 1) für n ∈ N.
b) P (Xn = 1 für unendlich viele n ∈ N0 ).
Aufgabe 5
(Bonusaufgabe)
Zwei Spieler starten ein Spiel mit Anfangskapital N1 , N2 ∈ N. In jedem Zug
gewinnt Spieler 1 von Spieler 2 eine Einheit mit Wahrscheinlichkeit p ∈]1/2, 1[,
sonst verliert er eine Einheit. Das Spiel endet, sobald ein Spieler ruiniert ist.
a) Skizzieren Sie den Übergangsgraphen der Markov-Kette, die den Kapitalstand von Spieler 1 beschreibt.
b) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass Spieler 1 schließlich ruiniert wird.
Anleitung: Lösungen (ai )i=0,...,N1 +N2 der Rekursion
ai = pai+1 + (1 − p)ai−1
(i = 1, . . . , N1 + N2 − 1)
haben die Form ai = cxi + dy i (i = 0, . . . , N1 + N2 ) mit c, d ∈ R und x, y als
eindeutige Lösungen der quadratischen Gleichung
z = pz 2 + (1 − p).

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