Lycée Louis-Le-Grand, Paris 2014/2015 MPSI 4

Lycée Louis-Le-Grand, Paris
MPSI 4 – Mathématiques
A. Troesch
2014/2015
Programme des colles de la semaine 7 (24/11 – 29/11)
I. Fonctions usuelles (révisions semaine 6)
II. Calcul intégral
L’intégration n’est abordée dans ce chapitre que sous un angle calculatoire. Il n’est pas dans l’esprit de ce chapitre de
donner des exercices théoriques sur les intégrales. Le point de départ du cours est le théorème fondamental du calcul
intégral, admis à ce stade. On admet certaines autres propriétés dans le but de pouvoir manipuler correctement les
intégrales dans les exercices.
• Point de départ
∗ Croissance, positivité et stricte positivité de l’intégrale (admis)
∗ Inégalité triangulaire intégrale (admis)
∗ Notion de primitive, expression intégrale d’une primitive d’une fonction continue(Newton), théorème fondamental
du calcul des intégrales (admis)
• Techniques élémentaires
∗ Primitives des fonctions usuelles, et de composées. Usage de la primitivation « à vue ».
∗ Méthode : primitivation des inverses de trinômes.
• Intégration par partie
∗ Formule d’IPP et d’IPP itérée pour le calcul intégral.
∗ Formule de Taylor avec reste intégral.
∗ Inégalité de Taylor-Lagrange à l’ordre n pour une fonction C n+1 .
∗ Expression de l’IPP pour la primitivation.
• Changement de variables
∗ Formule de changement de variables.
∗ Intégrales de fonctions impaires, paires.
• Dérivation d’intégrales dépendant de leurs bornes
∗ Formule de dérivation
∗ Intégrale d’une fonction périodique sur une période.
III. Équations différentielles
Conformément au programme, nous nous limitons aux équations linéaires d’ordre 1 et 2, ces dernières étant prises à
coefficients constants uniquement.
1. Généralités sur les EDO
• Notion d’équation différentielle ordinaire. Système d’équations différentielles. Ordre d’une ED.
• Toute système d’EDO peut se ramener à un système d’ordre 1, quitte à ajouter des inconnues.
• Forme normale
• Notion de problème de Cauchy.
2. Généralités sur les EDL
• Équations différentielles linéaires, systèmes d’équations linéaires.
• Écriture du système, après s’être ramené à un système d’ordre 1.
• Notion de sous-espace vectoriel et sous-espace affine de Rn et RI .
• Théorème de structure pour un système d’ordre 1 (donc aussi pour une EDL d’ordre plus élevé)
• Principe de superposition.
3. Équations différentielles linéaires d’ordre 1
• Résolution de l’équation homogène y ′ = a(x)y.
• Méthode de variation de la constante pour trouver une solution particulière de y ′ = a(x)y + b(x).
• Théorème de Cauchy-Lipschitz dans le cas des EDL d’ordre 1.
4. Équations différentielles linéaires d’ordre 2 à coefficients constants
• Recherche d’une solution de l’ED homogène sous forme exponentielle.
• Recherche de l’ensemble des solutions de l’ED homogène par une méthode du type variation de la constante.
Méthode à retenir pour pouvoir l’adapter à des situations où les coefficients ne sont pas constants.
• Polynôme caractéristique. Expression des solutions dans C d’une EDL homogène d’ordre 2 à coefficients
constants.
• Description des solutions réelles d’une EDL homogène d’ordre 2 à coefficients constants réels.
• Théorème de Cauchy-Lipschitz pour les EDL homogènes d’ordre 2 à coefficients constants.
• Recherche d’une solution particulière d’une équation avec second membre, dans les situations particulières
suivantes :
f (x) = Axn eλx , f (x) = A cos(ωt) f (x) = A sin(ωt),

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