Cinématique du point

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Mécanique
Cinématique du point
I Mouvement de translation
Lorsqu'un solide est en translation, chaque ligne de celui-ci se déplace parallèlement à sa position
initiale au cours du temps.
Propriété : Tous les points du solide en translation ont des trajectoires, des vitesses, et des
accélérations identiques.
a- Mouvement Rectiligne Uniforme (M.R.U.)
Accélération nulle et vitesse constante
a = 0

ste
Equations du mouvement : v = v 0 = c
x = v .t + x
0
0

a = γ : accélération (en m/s²)
v : vitesse de translation (en m/s)
v0 : vitesse initiale
x : déplacement à l'instant t (en m)
x0 : déplacement initial à t = 0
r
Vecteur vitesse : V A∈1/0 = v i (si translation d'axe x, i vecteur unitaire de x )
Vecteur accélération : Γ A∈1/0 = 0
Allures des graphes
a
v
v0
x
x = v0.t + x0
tan α = v0
α
v = v0
x0
a=0
t
t
t
b- Mouvement Rectiligne Uniformément Accéléré (M.R.U.A.)
a > 0 : accélération
a < 0 : décélération
lors de la chute d'un corps a = g = 9,81 m/s²

a = c ste

Equations du mouvement : v = a.t + v 0

1
x = a.t 2 + v 0 .t + x 0
2

a = γ : accélération (en m/s²)
v : vitesse de translation (en m/s)
v0 : vitesse initiale
x : déplacement à l'instant t (en m)
x0 : déplacement initial à t = 0
Formule utile : v² = v0² + 2a (x - x0)
r
Vecteur vitesse : V A∈1/0 = v i (si translation d'axe x, i vecteur unitaire de x)
r
Vecteur accélération : Γ A∈1/0 = a i
Allures des graphes
a
v
a = cste
x
v = a.t + v0
tan β = a
β
v0
t
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x0
t
1
x = a.t 2 + v 0 .t + x 0
2
(parabole)
t
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II Mouvement de rotation (ou circulaire)
a- Mouvement Circulaire Uniforme (M.C.U.)
Accélération nulle et vitesse angulaire constante
ω ' = 0

ste
Equations du mouvement : ω = ω 0 = c
θ = ω .t + θ
0
0

ω' : accélération angulaire (en rad/s²)
ω : vitesse angulaire (en rad/s)
ω0 : vitesse angulaire initiale
θ : angle de rotation à l'instant t (en rad)
θ0 : angle de rotation initial à t = 0
r
t
r
r
Vecteur vitesse : V A∈1/0 = OA . ω t = R . ω t
r
Vecteur accélération : Γ A∈1/0 = - R . ω 2 n
ω1/0
V A∈1/0
r
n
A
Γ A∈1/0
O
Allures des graphes
ω'
ω
ω0
θ
θ = ω0.t + θ0
tan α = ω0
α
ω = ω0
θ0
ω' = 0
t
t
t
Mouvement Circulaire Uniformément Accéléré (M.C.U.A.)
ω' > 0 : accélération ω' < 0 : décélération
r
t
ω' > 0

ω ' = c ste

Equations du mouvement : ω = ω '.t + ω 0

1
θ = ω '.t 2 + ω 0 .t + θ 0
2

V A∈1/0
γ t
ω1/0
A
Γ A∈1/0
O
γ
r
n
n
Formule utile : ω² = ω0² + 2ω' (θ - θ0)
r
t
r
r
Vecteur vitesse : V A∈1/0 = OA . ω t = R . ω t
r
r
r
r
Vecteur accélération : Γ A∈1/0 = R . ω ' t - R . ω 2 n = γ t t - γ n n
r
γt : accélération tangentielle γ t = R . ω ' t
r
γn : accélération normale γ n = - R . ω 2 n
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ω1/0
ω' < 0
V A∈1/0
γ
A
n
O
Γ A∈1/0
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r
n
γ
t
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Allures des graphes
ω'
ω
θ
ω = ω'.t + ω0
tan β = ω'
β
ω' = cste
ω0
t
1
2
(parabole)
θ = ω '.t 2 + ω 0 .t + θ 0
θ0
t
t
III Loi des vitesses dite "trapézoïdale"
V ou ω
Phase 1 : Phase d'accélération
a ou ω' > 0
Phase 2 : Maintien de la vitesse
a ou ω' = 0
Phase 3 : Phase de décélération
a ou ω' < 0
Phase 1
Phase 2
Phase 3
t
Allure du graphe des accélérations
Allure du graphe des déplacements
X ou θ
a ou ω'
t
Phase 1
Phase 2
Phase 3 t
Phase 1
Phase 2
Phase 3
Lorsque l'instant initial du mouvement t0 ≠ 0, utiliser les équations suivantes :
- Pour les mouvements de translation :

a = c ste
a = 0


ste
M.R.U. : v = v 0 = c
M.R.U.A. : v = a.(t - t 0 ) + v 0
x = v .(t - t ) + x

1
0
0
0

x = a.(t - t 0 ) 2 + v 0 .(t - t 0 ) + x 0
2

- Pour les mouvements de rotation (circulaire) :

ω ' = c ste
ω ' = 0


ste
M.C.U.A. : ω = ω '.(t - t 0 ) + ω 0
M.C.U. : ω = ω 0 = c
θ = ω .(t - t ) + θ

1
0
0
0

θ = ω '.(t - t 0 ) 2 + ω 0 .(t - t 0 ) + θ 0
2

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