1 1 tan n (n = 1; 2; 3; Ý) とする.このとき,次の問に答えよ. 2n 2 ¼ 1 1 1 (1) 0 < µ < のとき,等式 tan µ = ¡ を示せ. 4 2 2 tan µ tan 2µ n P (2) (1) を用いて,和 ak を求めよ. 1 an = k=1 (3) 無限級数 1 P k=1 4 1 ,ÎBAC = µ とする.また,辺 µ AB を (1 ¡ µ) : µ に内分する点を D とする.このとき,以下の問いに答えよ. 0 < µ < 1 とする.三角形 ABC において,AB = AC = (1) 三角形 BCD の面積を S とする. lim S を求めよ. µ!+0 (2) lim BC を求めよ. µ!+0 ak の和を求めよ. (3) lim CD を求めよ. µ!+0 ( 佐賀大学 2013 ) 2 ex について以下の問いに答えよ. + e¡x Z1 y dx を求めよ. (1) 定積分 I = 次の条件によって定められる数列 fan g を考える. a1 = 0; an+1 = 2n(n + 1) 3n ¡ an ( 甲南大学 2015 ) 5 (n = 1; 2; 3; Ý) 関数 y = ex ¡1 このとき,以下の問いに答えよ. (1) 不等式 an < n を数学的帰納法によって証明せよ. n (n = 1; 2; 3; Ý) で定める.bn+1 を bn を用いて表せ. (2) 数列 fbn g を bn = n ¡ an (3) 数列 fbn g の一般項を求めよ. (4) 数列 fan g の一般項を求めよ. a2 a3 a4 Ýan an (5) 極限 lim および lim を求めよ. n! n!1 n n!1 以下では,n は自然数とする. Zn 1 (2) In = y dx を求めよ. n ¡n Zn 1 (3) Jn = y(1 ¡ y) dx を求めよ. n ¡n Zn 1 (4) Kn = y2 dx とおくとき,極限値 lim Kn を求めよ. n ¡n n!1 ( 電気通信大学 2013 ) ( 電気通信大学 2014 ) 6 実数 ¯ は ¯ > 1 を満たす定数とする.x > 0 に対し関数 f(x) を f(x) = log x で定めると x¯ き,次の問いに答えよ. 3 a1 = 2 とし ,f(x) = x2 ¡ 3 とする.曲線 y = f(x) 上の点 (a1 ; f(a1 )) における接線が x 軸と交わる点の x 座標を a2 とする.以下同様に,n = 3; 4; Ý に対して,曲線 y = f(x) 上 の点 (an¡1 ; f(an¡1 )) における接線が x 軸と交わる点の x 座標を an とする.数列 fan g に対し て,次の問いに答えよ. (1) f(x) の増減を調べ,極値を求めよ. t2 (2) t > 0 ならば < et であることを用いて, lim f(x) を求めよ. 2 Z x!1 a (3) a > 1 を満たす実数 a に対して,I(a) = 1 f(x) dx とおくとき,I(a) を求めよ. (4) 極限値 lim I(a) を求めよ. a!1 (1) a2 を求めよ. ( 鳥取大学 2016 ) (2) an+1 を an を用いて表せ. p (3) an = 3 を示せ. B B 1 n¡1 (4) an ¡ 3 5 # ; (2 ¡ 3) を示し, lim an を求めよ. 2 n!1 n を n = 2 である整数とするとき,以下の各問に答えよ. Z (1) 不定積分 tan x dx を求めよ. 7 ( 島根大学 2014 ) (2) tann x の導関数を求めよ. sin x (3) 不定積分 Z tann¡2 x dx を求めよ. cos2 x 10 四面体 OABC において,OA = 2,OB = 2,OC = 4, (4) 式 Z tann x dx = 1 tann¡1 x ¡ n¡1 Z ÎAOB = tann¡2 x dx ÎAOC = ¼ ; 3 ÎBOC = ¼ 3 とする.また,線分 OA を 2 : 1 に外分する点を P,線分 OB を 3 : 2 に外分する点を Q とする. 線分 CQ,線分 CP の中点をそれぞれ R,S とし,直線 PR と直線 QS の交点を T とする.さら ¡! ¡ ! ¡! ¡ ! ¡! ¡ ! に,OA = a ,OB = b ,OC = c とする.次の問いに答えよ. が成り立つことを証明せよ. Z ¼ 4 tan3 x dx を求めよ. (5) 定積分 ¡! ¡ ! ¡ ! ¡ ! (1) OT を a ; b ; c を用いて表せ. 0 ( 横浜市立大学 2016 ) 8 ¼ ; 2 ¡! ¡ ! ¡ ! ¡ ! (2) 点 T から平面 OAB に下ろした垂線を TH とする.HT を a ; b ; c を用いて表せ. (3) 四面体 OABT の体積を求めよ. x = 1 で定義された関数 ( 県立広島大学 2016 ) log x f(x) = x2 について,以下の問いに答えよ. (1) x = 1 における f(x) の最大値とそのときの x の値を求めよ. (2) (1) で求めた x の値を a とする.曲線 y = f(x) と 2 直線 y = 0,x = a で囲まれた図形を D 11 以下の問いに答えよ. (1) 正の実数 a; b; c について,不等式 とする.D の面積を求めよ. (3) (2) の図形 D を y 軸の周りに 1 回転させてできる立体の体積を求めよ. log a log b log c + + < log 4 a c b ( 熊本大学 2016 ) が成立することを示せ.ただし,log は自然対数とし,必要なら e > 2:7 および log 2 > 0:6 を 9 4OAB において,OA = 5,OB = 6,AB = 7 とする.t を 0 < t < 1 を満たす実数とする. 辺 OA を t : (1 ¡ t) に内分する点を P,辺 OB を 1 : t に外分する点を Q,辺 AB と線分 PQ の ¡! ¡ ! ¡! ¡ ! 交点を R とする.点 R から直線 OB へ下ろした垂線を RS とする.OA = a ,OB = b とす 用いてもよい. (2) 自然数 a; b; c; d の組で abc bca cab = dabc ; るとき,次の問いに答えよ. ¡ ! ¡ ! (1) 内積 a ¢ b を求めよ. ¡! ¡ ! ¡ ! (2) OR を t; a ; b を用いて表せ. ¡ ! ¡ ! (3) OS を t; b を用いて表せ. a 5 b 5 c; d=3 を満たすものをすべて求めよ. ( 熊本大学 2014 ) (4) 線分 OS の長さが 4 となる t の値を求めよ. ( 新潟大学 2016 )
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