1 an - SUUGAKU.JP

1
1
tan n (n = 1; 2; 3; Ý) とする．このとき，次の問に答えよ．
2n
2
¼
1
1
1
(1) 0 < µ <
のとき，等式
tan µ =
¡
を示せ．
4
2
2 tan µ
tan 2µ
n
P
(2) (1) を用いて，和
ak を求めよ．
1
an =
k=1
(3) 無限級数
1
P
k=1
4
1
，ÎBAC = µ とする．また，辺
µ
AB を (1 ¡ µ) : µ に内分する点を D とする．このとき，以下の問いに答えよ．
0 < µ < 1 とする．三角形 ABC において，AB = AC =
(1) 三角形 BCD の面積を S とする． lim S を求めよ．
µ!+0
(2) lim BC を求めよ．
µ!+0
ak の和を求めよ．
(3) lim CD を求めよ．
µ!+0
（佐賀大学 2013 ）
2
ex
について以下の問いに答えよ．
+ e¡x
Z1
y dx を求めよ．
(1) 定積分 I =
次の条件によって定められる数列 fan g を考える．
a1 = 0;
an+1 =
2n(n + 1)
3n ¡ an
（甲南大学 2015 ）
5
(n = 1; 2; 3; Ý)
関数 y =
ex
¡1
このとき，以下の問いに答えよ．
(1) 不等式 an < n を数学的帰納法によって証明せよ．
n
(n = 1; 2; 3; Ý) で定める．bn+1 を bn を用いて表せ．
(2) 数列 fbn g を bn =
n ¡ an
(3) 数列 fbn g の一般項を求めよ．
(4) 数列 fan g の一般項を求めよ．
a2 a3 a4 Ýan
an
(5) 極限 lim
および lim
を求めよ．
n!
n!1 n
n!1
以下では，n は自然数とする．
Zn
1
(2) In =
y dx を求めよ．
n ¡n
Zn
1
(3) Jn =
y(1 ¡ y) dx を求めよ．
n ¡n
Zn
1
(4) Kn =
y2 dx とおくとき，極限値 lim Kn を求めよ．
n ¡n
n!1
（電気通信大学 2013 ）
（電気通信大学 2014 ）
6
実数 ¯ は ¯ > 1 を満たす定数とする．x > 0 に対し関数 f(x) を f(x) =
log x
で定めると
x¯
き，次の問いに答えよ．
3
a1 = 2 とし，f(x) =
x2
¡ 3 とする．曲線 y = f(x) 上の点 (a1 ; f(a1 )) における接線が x
軸と交わる点の x 座標を a2 とする．以下同様に，n = 3; 4; Ý に対して，曲線 y = f(x) 上
の点 (an¡1 ; f(an¡1 )) における接線が x 軸と交わる点の x 座標を an とする．数列 fan g に対し
て，次の問いに答えよ．
(1) f(x) の増減を調べ，極値を求めよ．
t2
(2) t > 0 ならば
< et であることを用いて， lim f(x) を求めよ．
2
Z x!1
a
(3) a > 1 を満たす実数 a に対して，I(a) =
1
f(x) dx とおくとき，I(a) を求めよ．
(4) 極限値 lim I(a) を求めよ．
a!1
(1) a2 を求めよ．
（鳥取大学 2016 ）
(2) an+1 を an を用いて表せ．
p
(3) an = 3 を示せ．
B
B
1 n¡1
(4) an ¡ 3 5 # ; (2 ¡ 3) を示し， lim an を求めよ．
2
n!1
n を n = 2 である整数とするとき，以下の各問に答えよ．
Z
(1) 不定積分
tan x dx を求めよ．
7
（島根大学 2014 ）
(2)
tann x
の導関数を求めよ．
sin x
(3) 不定積分
Z
tann¡2 x
dx を求めよ．
cos2 x
10 四面体 OABC において，OA = 2，OB = 2，OC = 4，
(4) 式
Z
tann x dx =
1
tann¡1 x ¡
n¡1
Z
ÎAOB =
tann¡2 x dx
ÎAOC =
¼
;
3
ÎBOC =
¼
3
とする．また，線分 OA を 2 : 1 に外分する点を P，線分 OB を 3 : 2 に外分する点を Q とする．
線分 CQ，線分 CP の中点をそれぞれ R，S とし，直線 PR と直線 QS の交点を T とする．さら
¡! ¡
! ¡! ¡
! ¡! ¡
!
に，OA = a ，OB = b ，OC = c とする．次の問いに答えよ．
が成り立つことを証明せよ．
Z ¼
4
tan3 x dx を求めよ．
(5) 定積分
¡! ¡
! ¡
! ¡
!
(1) OT を a ; b ; c を用いて表せ．
0
（横浜市立大学 2016 ）
8
¼
;
2
¡! ¡
! ¡
! ¡
!
(2) 点 T から平面 OAB に下ろした垂線を TH とする．HT を a ; b ; c を用いて表せ．
(3) 四面体 OABT の体積を求めよ．
x = 1 で定義された関数
（県立広島大学 2016 ）
log x
f(x) =
x2
について，以下の問いに答えよ．
(1) x = 1 における f(x) の最大値とそのときの x の値を求めよ．
(2) (1) で求めた x の値を a とする．曲線 y = f(x) と 2 直線 y = 0，x = a で囲まれた図形を D
11 以下の問いに答えよ．
(1) 正の実数 a; b; c について，不等式
とする．D の面積を求めよ．
(3) (2) の図形 D を y 軸の周りに 1 回転させてできる立体の体積を求めよ．
log a
log b
log c
+
+
< log 4
a
c
b
（熊本大学 2016 ）
が成立することを示せ．ただし，log は自然対数とし，必要なら e > 2:7 および log 2 > 0:6 を
9
4OAB において，OA = 5，OB = 6，AB = 7 とする．t を 0 < t < 1 を満たす実数とする．
辺 OA を t : (1 ¡ t) に内分する点を P，辺 OB を 1 : t に外分する点を Q，辺 AB と線分 PQ の
¡!
¡
! ¡!
¡
!
交点を R とする．点 R から直線 OB へ下ろした垂線を RS とする．OA = a ，OB = b とす
用いてもよい．
(2) 自然数 a; b; c; d の組で
abc bca cab = dabc ;
るとき，次の問いに答えよ．
¡
! ¡
!
(1) 内積 a ¢ b を求めよ．
¡!
¡
! ¡
!
(2) OR を t; a ; b を用いて表せ．
¡
!
¡
!
(3) OS を t; b を用いて表せ．
a 5 b 5 c;
d=3
を満たすものをすべて求めよ．
（熊本大学 2014 ）
(4) 線分 OS の長さが 4 となる t の値を求めよ．
（新潟大学 2016 ）

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