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電磁気学基礎１小テスト（2016 年度第 3 クォータ火 4 ＠ C401）
以下の２問のうち１つ選んで解いてください。もし時間があれば２つとも解いてもらえるとい
い勉強になると思います。講義についての要望・コメント等もあれば遠慮なく書いてください。
1
電気双極子
上図左のように２つの電荷 q と −q をそれぞれ点 (a, 0, 0) と点 (−a, 0, 0) に置いたとする。
⃗ + を求めよ。
（１）電荷 q が点 (x, y, 0) に作る電場 E
⃗ − を求めよ。
（２）電荷 −q が点 (x, y, 0) に作る電場 E
⃗ =
重ね合わせの原理を用いると、２つの電荷により点 (x, y, 0) に生成される電場は全部で E
⃗+ + E
⃗ − のように与えられる。
E
次に、点 (x, y, 0) が２つの電荷から離れた時の電場の振る舞いを議論しよう。上図右のように
極座標 r, θ を導入すると (x, y, 0) = (r cos θ, r sin θ, 0) と表せ、電荷から十分離れているという
条件は a ≪ r で与えられる。
⃗+ と E
⃗ − がどのように近似されるか求めよ。（ヒント：テイラー展
（３）a ≪ r の条件下で E
開を用いると、x ≪ 1 のとき (1 + x)n ≃ 1 + nx と近似できる）
⃗ =E
⃗+ + E
⃗ − の近似形を求めよ。ま
（４）
（３）の結果を用いることで、a ≪ r のときの電場 E
⃗ がどう表されるか考察せよ。
た、電気双極子モーメント p = 2aq を用いて E
2
ガウスの法則
ガウスの法則によると、任意の閉曲面を貫く電気力線の数は、閉曲面で囲まれた総電荷量の 1/ϵ0
倍で与えられる。ざっくりと式で書くと、
閉曲面 S を貫く電気力線の数 =
閉曲面 S で囲まれた総電荷量
.
ϵ0
⃗ と電荷密度 ρ を用いてガウスの法則を
また、電場 E
∫ ∫
∫ ∫ ∫
1
En dS =
ρ dV
ϵ0
S
V
1
(2.1)
(2.2)
のように表すこともできる。ここで、En は閉曲面 S に対し外向きに直行する電場の成分（閉
∫∫
曲面上の電気力線密度に等しい）。dS は閉曲面上の面積要素で、
は面積分を閉曲面 S 上
S
∫∫∫
で行うことを意味する。また、dV は体積要素で、
は閉曲面 S で囲まれる空間 V で体
V
積積分をすることを意味する。
以下では、上図左のように半径 R の球の内部に電荷 Q が一様に分布しているとして、電荷が
作る電場をガウスの法則を用いて計算しよう。
（１）まずはじめに、球の外部に生成される電場を求めよう。上図右のような半径 r > R の
同心球面に対してガウスの法則を適用したい。電荷分布が球対称であることを用いて、ガウス
の法則の左辺を計算せよ。
（２）ガウスの法則の右辺を計算し、
（１）の結果と比べることで、球外部に生成される電場の
分布を求めよ。
（３）同様の議論を半径 0 < r < R の同心球面に対して行い、球内部の電場分布を求めよ。
2

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