(2) OA = OB = OC = 1

年番号
1
¡! ¡
! ¡! ¡
!
平行四辺形 ABCD において，AB = a ，AD = b とおき，
¡
!
a = 4;
¡
!
b = 5;
2
氏名
空間において，同一平面上にない 4 点を O，A，B，C とする．線分 OA，OB
を 2 辺とする平行四辺形を OADB，線分 OA，OC を 2 辺とする平行四辺形
¡!
AC = 6
を OAEC，線分 OB，OC を 2 辺とする平行四辺形を OBFC とする．下の問
であるとする．また，辺 BC を 1 : 4 に内分する点を E，辺 AB を s : (1 ¡ s)
に内分する点を F とし（ただし，0 < s < 1 ），線分 AE と線分 DF の交点
を P とするとき，次の問いに答えよ．
¡
! ¡
!
¡
! ¡
!
(1) a と b の内積 a ¢ b の値を求めよ．
¡! ¡
! ¡
!
(2) AP を a ; b および s で表せ．
いに答えよ．
¡! ¡!
(1) 4ODE を含む平面と直線 AF の交点を G とするとき，ベクトル OG を OA，
¡! ¡!
OB，OC を用いて表せ．
¡! ¡!
¡! ¡!
¡! ¡!
(2) OA = OB = OC = 1，OA ¢ OB = OA ¢ OC = OB ¢ OC = x とする．点
O を中心とし，点 G を含む球面と 4ABE を含む平面の交わりで得られる円
の半径の最小値とそのときの x の値を求めよ．
¡! ¡
!
(3) 平行四辺形 ABCD の 2 本の対角線 AC と BD の交点を Q とする．PQ が b
（東京学芸大学 2016 ）
と平行であるとき，s の値を求めよ．
（岩手大学 2016 ）
3
¡!
O を原点とする座標平面において，点 A，B をそれぞれ OA = (1; 0)，
¡!
¡!
¡!
¡!
OB = (1; 2) で定め，点 P を OP = sOA + tOB（ s; t は実数）で定める．
¡!
(1) s = 2，t = 3 のとき，OP = ( サ ;
シ ) である．
¡!
(2) OP = (2; 10) のとき，s = スセ，t = ソである．
(3) 実数 s; t が 4s + 5t 5 20，s = 0，t = 0 を満たしながら変化するとき，点 P
の存在する範囲は原点 O，点 (
タ
;
チ
)，(
点とする三角形の内部および周である．ただし，
タ
;
ツ
<
テ
ツ
) を頂
とする．
（金沢工業大学 2016 ）
4
四面体 OABC において，辺 OA，OB，OC のどの 2 辺も互いに直交し，長
6
座標空間内に 5 点
さがすべて 1 である．3 点 O，B，C を通る平面上に点 D を
O(0; 0; 0);
OD = 1;
±
0± < ÎBOD < 90 ;
±
0± < ÎCOD < 90
A #0; 0;
3
;;
4
B#
1
1
;;
; 0;
2
2
C(s; t; 0);
D(0; u; 0)
がある．ただし，s; t; u は実数で，s > 0，t > 0，s + t = 1 を満たすと
となるようにとり，ÎBOD = µ，cos µ = x とおく．線分 AB を (x + 2) : x
する．3 点 A，B，C の定める平面が y 軸と点 D で交わっているとき，次の
に外分する点を E，線分 AC を x : (1 ¡ x) に内分する点を F，三角形 DEF
¡!
¡
! ¡!
¡
! ¡!
¡
!
の重心を G とする．OA = a ，OB = b ，OC = c とおくとき，以下の
問いに答えよ．
問いに答えよ．
¡!
¡
! ¡
!
¡!
¡
! ¡
! ¡
!
(1) OD を，x; b ; c を用いて表せ．また，OG を，x; a ; b ; c を用い
(1) 直線 AB と x 軸との交点の x 座標を求めよ．
(2) u を t を用いて表せ．また，0 < u < 1 であることを示せ．
(3) 点 (0; 1; 0) を E とする．点 D が線分 OE を 12 : 1 に内分するとき，t の
て表せ．
値を求めよ．
(2) 点 G が 3 点 O，B，C を通る平面上にあるような x の値を求めよ．
¡! ¡!
(3) OG と DF の内積の最小値と，そのときの x の値を求めよ．
（広島大学 2015 ）
（福井大学 2016 ）
7
5
¡
! ¡! ¡
! ¡! ¡
! ¡!
4ABC に対し a = AB， b = BC， c = CA として
¡
! ¡
!
¡
! ¡
!
¡
! ¡
!
¡
!
p = a b + b c + c a
四面体 OAPQ において，ÎAOP = ÎAOQ = ÎPOQ = 60± ，OA = 1，
OP = p，OQ = q とし，頂点 A から平面 OPQ に下ろした垂線を AH とす
る．ただし，p 5 q とする．このとき，次の問いに答えよ．
¡! ¡!
(1) 内積 AP ¢ AQ を p; q を用いて表せ．
¡
!
によってベクトル p を定めるとき，次の問に答えよ．
¡
!
¡
!
(1) p = 0 は 4ABC が正三角形であるための必要十分条件であることを証
明せよ．
¡
! ¡
!
¡
!
(2) p = a かつ p = 4 のとき，cos ÎABC の値を求めよ．
（東京海洋大学 2016 ）
(2) AH の長さを求めよ．
(3) p + q = 3，および 4APQ の面積が 1 のとき，以下の値を求めよ．
(1) pq
(2) p
(3) 四面体 OAPQ の体積
（旭川医科大学 2015 ）
8
¡!
¡!
¡!
平面上の三角形 ABC で，jABj = 7，jBCj = 5，jACj = 6 となるものを考
える．また，三角形 ABC の内部の点 P は，
¡!
¡
!
¡
! ¡
!
PA + sPB + 3PC = 0 (s > 0)
¡!
¡
! ¡!
¡
!
¡
! ¡
!
¡
!
c は
¡
!
¡
!
¡
!
j a j = j b j = j c j = 5;
を満たすとする．次の問いに答えよ．
¡
! ¡!
10 4ABC の外心を O とし，OA = a ，OB = b ，OC = c とする． a ， b ，
¡
!
¡
!
¡
! ¡
!
4a +3 b +5 c = 0
をみたすとする．次の問いに答えよ．
¡!
¡!
¡!
(1) AP = ®AB + ¯AC とするとき，® と ¯ を s を用いて表せ．
¡!
¡!
jBDj
jAPj
(2) 2 直線 AP，BC の交点を D とするとき， ¡! と ¡! を s を用いて表せ．
jDCj
jPDj
(3) 三角形 ABC の面積を求めよ．
p
(4) 三角形 APC の面積が 2 6 となるような s の値を求めよ．
¡
! ¡
!
¡
! ¡
!
(1) 100 + 3 a ¢ b + 5 c ¢ a = 0 が成り立つことを示せ．
¡
! ¡
! ¡
! ¡
!
¡
! ¡
!
(2) 内積 a ¢ b ， b ¢ c および c ¢ a を求めよ．
¡!
(3) 4ABC の重心を G とするとき，jOGj の値を求めよ．
（新潟大学 2015 ）
（金沢大学 2015 ）
11 点 O を中心とする半径 1 の円に内接する三角形 ABC があり，
9
座標空間内に 3 点 A(1; 0; 0)，B(0; 1; 0)，C(0; 0; 1) をとり，2 つのベ
¡! ¡
! ¡
!
クトル AP と BP + CP の内積が 0 になるような点 P(x; y; z) の集合を S
とする．3 点 A，B，C を通る平面を ® とするとき，次の問いに答えよ．
(1) 集合 S は球面であることを示し，その中心 Q の座標と半径 r の値を求めよ．
(2) 原点 O から最も遠い距離にある S 上の点の座標を求めよ．
(3) (1) で求めた点 Q は，平面 ® 上にあることを示せ．
¡!
¡!
¡! ¡
!
2OA + 3OB + 4OC = 0
をみたしている．この円上に点 P があり，線分 AB と線分 CP は直交してい
る．次の問いに答えよ．
¡! ¡!
¡!
(1) 内積 OA ¢ OB と jABj をそれぞれ求めよ．
(2) 線分 AB と線分 CP の交点を H とするとき，AH : HB を求めよ．
(4) (1) で求めた点 Q を通って平面 ® に垂直な直線を ` とする．球面 S と直線
(3) 四角形 APBC の面積を求めよ．
` のすべての共有点について，その座標を求めよ．
（横浜国立大学 2015 ）
（岡山大学 2015 ）
¡!
¡
! ¡!
¡
!
¡
!
¡
!
p
12 4ABC において，AB = b ，AC = c とおき，j b j = 1，j c j = 3，
¡
! ¡
!
b ¢ c = 1 であるとする．辺 BC を 1 : 2 に内分する点を D，線分 AD に関
して B と対称な点を E，直線 AE と辺 BC の交点を F とする．このとき，次
C
(1) 4OAB の面積は
1
2
3
である．
(2) 点 C の位置を，位置ベクトル
の問いに答えよ．
¡! ¡
!
(1) AE を b ;
¡! ¡
!
(2) AF を b ;
13 O を原点とする座標空間に，2 点 A(0; 1; 2)，B(1; 2; 0) がある．
¡!
2 ¡!
2 ¡!
OC =
OA + OB
3
3
¡
!
c を用いて表せ．
¡
!
c を用いて表せ．
によって定める．このとき，4ABC と 4OAB の面積の比は
(3) DF : BC を求めよ．
（静岡大学 2015 ）
4
4ABC
=
4OAB
5
である．
¡! ¡!
(3) 2 つのベクトル OA，OB の両方に垂直な単位ベクトルのうちの 1 つは，
C
6
7
!
21
; ¡
8
9
; 19
である．
(4) t を実数として，点 D $
t2
; 4t; 19< を定める．このとき，四面体 ABCD
4
の体積 V(t) は
V(t) =
10
11
12
!t2 ¡
13
t+
14
15
9
である．
(5) 数列 fan g を次のように定める．
a1 = 1;
an+1 = an +
このとき，V(an ) は，n =
n+1
10
16
(n = 1; 2; 3; Ý)
で最小となる．
（慶應義塾大学 2015 ）

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