数理科学特論B2 §1 ベクトルの内積と外積演習問題学生番号氏名

数理科学特論 B2 §1 ベクトルの内積と外積演習問題
学生番号
氏名
スカラーを表す文字 (A, B, C, . . . ) とベクトルをあらわす文字 (A, B, C, . . . ) を必ず使い分けるこ
と. また, スカラー倍 kA, 内積 A · B, 外積 A × B の記号も使い分けること. 混同して使用した場合
は不正解とする.
課題問題 1. A = (3, −1, 4), B = (−2, 4, −3), C = (1, 2, −1) とするとき次を求めよ:
(1) 2A − B + 3C
(2) |A + B + C|
問題 2. 次のベクトル A, B の内積 A · B を求めよ.
(1) A = (2, −1, 3), B = (6, −2, 4)
(2) A = (3, −1, 3), B = (−3, −5, 2)
問題 3. 次のベクトル A, B の外積 A × B を求めよ.
(1) A = (2, −1, 3), B = (1, −2, −3)
(2) A = (1, 2, −4), B = (2, 3, 1)
(3) A = (1, 1, −3), B = (−1, −2, −3)
問題 4. A = (4, −2, 4), B = (3, −6, −2) のなす角 θ について cos θ を求めよ.
問題 5. A = (2, −6, −3), B = (4, 3, −1) とするとき以下を求めよ.
(1) A × B
(2) A と B を 2 辺とする平行四辺形の面積
(3) A と B に垂直な単位ベクトル
問題 6. 平面ベクトル A = (Ax , Ay ), B = (Bx , By ) に対して, A と B を 2 辺とする平行四辺形の面
積は |Ax By − Ay Bx | となることを示せ.
問題 7. A = (1, −2, −3), B = (2, 1, −1), C = (1, 3, −2) とするとき次を求めよ.
(1) A · (B × C)
(2) (A × B) × C
(3) A × (B × C)
問題 8. ベクトルの外積 A × B について以下を証明せよ.
(1) A × B は A にも B にも垂直である.
(2) |A × B| は A と B を隣り合う 2 辺とする平行四辺形の面積に等しい.
追加課題解答例は → http://www.lab2.toho-u.ac.jp/sci/c/math/noda/
問題 9. 不等式
|A + B| ≤ |A| + |B|
が成り立つことを証明せよ.
問題 10. 等式 A × (B × C) = (A · C)B − (A · B)C が成立することを証明せよ. [両辺の x 成分に
ついて示し, その過程から y, z 成分の結果も類推されるのであれば “同様に成り立つ”としてよい.]
問題 11. 等式 A × (B × C) + B × (C × A) + C × (A × B) = 0 を示せ.
問題 12. 等式
(A × B) × (C × D) = {A · (B × D)}C − {A · (B × C)}D
= {A · (C × D)}B − {B · (C × D)}A
が成立することを示せ.
解 1.
(1) 2A − B + 3C = (11, 0,√8)
√
(2) |A + B + C| = |(2, 5, 0)| = 22 + 52 + 02 = 29
解 2.
(1) A · B = 2 · 6 + (−1) · (−2) + 3 · 4 = 12 + 2 + 12 = 26
(2) A · B = 3 · (−3) + (−1) · (−5) + 3 · 2 = −9 + 5 + 6 = 2
解 3.
(1) A × B = (9, 9, −3)
(2) A × B = (14, −9 − 1)
(3) A × B = (−9, 6 − 1)
解 4. A · B = 16, |A| = 6, |B| = 7 より, cos θ =
8
A·B
= .
|A||B|
21
解 5.
(1) A × B = (15, −10, 30)
√
(2) |A × B| = |5(3, −2, 6)| = 5 32 + (−2)2 + 62 = 35
(3) A にも B にも垂直な
1 のベクトルならよい.
)
( A × B と同じ向きで長さが
A×B
2 6
3
よって
=
, − ,
.
|A × B|
7
7 7
解 6. 求める面積を S とすると, S = |A| |B| sin θ と表される (θ は 2 つのベクトルのなす角).
S 2 = |A|2 |B|2 sin2 θ = |A|2 |B|2 (1 − cos2 θ) = |A|2 |B|2 − |A|2 |B|2 cos2 θ
= |A|2 |B|2 − (A · B)2 = (A2x + A2y )(Bx2 + By2 ) − (Ax Bx + Ay By )2
= (Ax By − Ay Bx )2
ゆえに S = |Ax By − Ay Bx |
1 −2 −3
解 7.
(1) A · (B × C) = 2 1 −1 = −20
1 3 −2
[ B × C = (1, 3, 5) より A · (B × C) = 1 − 6 − 15 = −20 でもよい ]
(2) A × B = (5, −5, 5) より (A × B) × C = (−5, 15, 20).
(3) B × C = (1, 3, 5) より A × (B × C) = (−1, −8, 5).
[(2), (3) からわかるように (A × B) × C と A × (B × C) は一般には一致しない. だから外積におい
て掛け算を行う順序は重要で, 3 つの積を A × B × C のように書くことは許されない.]
Ax Ay Az 解 8.
(1) A · (A × B) = Ax Ay Az = 0 (2 つの行が等しい行列の行列式は 0 になる)
Bx By Bz 同様に B · (A × B) = 0. よって A × B は A にも B にも垂直である.
(2) 平行四辺形の面積を S とすると
S 2 = |A|2 |B|2 sin2 θ = |A|2 |B|2 (1 − cos2 θ) = |A|2 |B|2 − |A|2 |B|2 cos2 θ
= |A|2 |B|2 − (A · B)2
= (A2x + A2y + A2z )(Bx2 + By2 + Bz2 ) − (Ax Bx + Ay By + Az Bz )2
= (Ay Bz − Az By )2 + (Az Bx − Ax Bz )2 + (Ax By − Ay Bx )2
= |A × B|2
WolframAlpha ( http://www.wolframalpha.com/ ) という無料の Web サービスはとても便利
なので知っておくとよい. 様々な機能があり, 数学に関しては数式処理システムで理論的に正し
い計算を教えてくれる. たとえば今回の内積や外積の計算は
• (2, -1, 3).(6, -2, 4)
• (2, -1, 3)x(1, -2, -3)
で正しい答えが得られ, さらに外積は A, B, A × B を図解してくれる.

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