1 2 つの関数 f(x)

年番号
1
2 つの関数 f(x) = x2 + ax + 2; g(x) =
3
氏名
座標平面上の 3 点 (0; 0)，(6; 0)，(0; 6) を
¡x2 + bx + 2 が，f0 #
a+1
a+1
; = g0 #
;
2
2
をみたしている．このとき，次の問に答えよ．た
頂点とする三角形と 4 点 (0; t)，(0; t ¡ 4)，
だし，a; b は定数で a < ¡1 とする．
部分の面積を S(t) とする．このとき，次の問に
(4; t ¡ 4)，(4; t) を頂点とする正方形の共通
答えよ．ただし，2 5 t 5 6 とする．
(1) b を a で表せ．
(2) 2 つの曲線 C1 : y = f(x) と C2 : y = g(x)
のすべての共有点について，その x 座標を a の
(1) S(2) と S(6) の値を求めよ．
(2) S(t) を最大にする t の値と，S(t) の最大値 M
を求めよ．
式で表せ．
(3) C1 と C2 が囲む部分の面積を S とするとき，S
(3) 2 5 t 5 5 のとき，S(t) = S(t + 1) をみたす t
の値を求めよ．
を a で表せ．
7
(4) S =
a + 1 + 2 となるような a の値を求
3
めよ．
2
¡
! ¡
!
平面上のベクトル an ， bn (n = 1; 2; 3; Ý)
¡
!
¡
!
を， a1 = (4; 0)， b1 = (0; 4) と関係式
¡
! ¡
!
¡¡!
3 an + bn
;
an+1 =
4
¡
!
¡
!
¡¡!
an ¡ 3 bn
bn+1 =
4
ÎACB が直角の 4ABC において，ÎBAC の二
等分線と辺 BC の交点を D とする．また，AB =
(n = 1; 2; 3; Ý)
20，BD = 15 とする．このとき，次の問に答
¡
! ¡¡!
により定める．さらに原点を O とし，an = OAn ，
¡
! ¡¡!
bn = OBn とする．このとき，次の問に答えよ．
¡
! ¡
!
(1) a2 ; b2 を求めよ．
¡¡! ¡
!
(2) an+2 を an で表せ．
(3) 4OAn Bn の面積を Sn とするとき，
4
えよ．
CD
の値を求めよ．
AC
(2) 線分 AD の長さを求めよ．
(1)
(3) 4ABD の内接円の半径 r と，外接円の半径 R
Sn+1
の値
Sn
を求めよ．
(4) S1 + S2 + Ý + Sn > 21 をみたす最小の自然数
n を求めよ．ただし，log10 2 = 0:3010 とする．
を求めよ．
5
a を 0 < a < log 2 となる定数とし，曲線 C と
8
直線 ` を
右の図のような格子状の道および斜めの道があ
る．次の場合の最短経路は何通りあるか．ただ
し，小さいマス目はすべて合同な正方形とする．
C : y = log x
(x > 0)
`:y=a
により定める．このとき，次の問に答えよ．
(1) C と ` および直線 x = 1 で囲まれた部分の面積
を S1 とするとき，S1 を a で表せ．
(2) C と ` および直線 x = 2 で囲まれた部分の面
積を S2 とするとき，S1 = S2 となる a の値を求
めよ．
(3) S = S1 + S2 とするとき，S の値が最小となる
(1) A から B まで行く．
(2) A から斜めの道を通らずに B まで行く．
(3) A から C まで行く．
a の値を求めよ．
6
関数 f(x) = 4x ¡ 2x+3 ¡ 2¡x+3 + 4¡x (x = 0)
について，次の問に答えよ．
(1) 2x + 2¡x = t とおくとき，f(x) を t の式で
表せ．
(2) t のとり得る値の範囲を求めよ．
9
4ABC 内に
¡!
¡
!
¡
! ¡
!
6PA + 3PB + 2PC = 0
(3) f(x) の最小値 m とそのときの x の値を求めよ．
をみたす点 P があるとき，次の問に答えよ．た
だし，比は最も簡単な整数の比で表せ．
7
放物線 C : y = x2 と直線 L : y = x ¡ 1 があ
る．L 上の点 A(a; a ¡ 1) から C に引いた 2 本
の接線の接点を P，Q とし，P，Q の x 座標をそ
れぞれ ®; ¯ (® < ¯) とする．このとき，次の
問に答えよ．
(1) C 上の点 (t; t2 ) における接線の方程式を y =
mx + k とするとき，m; k を t の式で表せ．
(2) ® + ¯ および ®¯ を a の式で表せ．
(3) 放物線 C と 2 本の接線で囲まれた図形の面積を
S(a)
S(a) とするとき，
を a の式で表せ．
¯¡®
¡!
¡!
¡!
(1) AP = mAB + n AC とするとき，m; n の値を
求めよ．
(2) 直線 AP と辺 BC の交点を D とするとき，比
BD : DC および AP : PD を求めよ．
(3) 直線 BP と辺 AC の交点を E とするとき，比
AE : EC を求めよ．
(4) 面積の比 4PDC : 4PCE を求めよ．
10 次の問に答えよ．
(1) 定積分 I =
Z
¼
2
0
cos 2t cos 4t dt の値を求めよ．
(2) 次の等式が t についての恒等式となるように，
定数 a; b; c; d の値を定めよ．
sin4 t cos2 t = a+b cos 2t+c cos 4t+d cos 2t cos 4t
(3) x = cos3 t とおいて，定積分 J =
2
Z
1
0
(1 ¡
3
x 3 ) 2 dx の値を求めよ．
11 関数 f(x) = x3 ¡ 3x2 + 3ax + b (a; b は定数)
について，次の問に答えよ．
(1) f(x) が極値を持つような a の値の範囲を求
めよ．
(2) f(x) の極大値と極小値の差が 32 となるとき，
a の値を求めよ．
(3) (2) で求めた a の値に対し，f(x) の区間 ¡4 5
x 5 4 における最大値が 5 であるとする．このと
き，b の値とこの区間での f(x) の最小値 m を
求めよ．
12 数列 fan g の初項から第 n 項までの和を Sn と
する．
Sn = 1 ¡ (2n 2 + n ¡ 1)an
(n = 1)
が成り立つとき，次の問に答えよ．
(1) n = 2 のとき，an を an¡1 と n を用いて表せ．
(2) an を n を用いて表せ．
20
P
1
(3)
を求めよ．
n=1 an

Download Report