a = 1 4 2 f(x)=4x2 + 2x + 4

年番号
1
放物線 C1 : y = 2x2 と放物線 C2 : y = (x ¡ a)2 + b を考える．ただし，a; b は定数で，a > 0
4
氏名
点 P は数直線上を動くものとする．1 個のさいころを投げて，奇数の目が出たときには P は正
とする．放物線 C1 と C2 がともにある点 P を通り，点 P において共通の接線 ` をもつとする．
の向きに 1 だけ進み，偶数の目が出たときには P は正の向きに 2 だけ進む．n を自然数とする．
また，点 P で ` と直交する直線を m とし，m と放物線 C1 ，C2 との P 以外の交点を，それぞれ
さいころを続けて投げて，出発点から P が進んだ距離が n 以上になったら，そこでさいころを
Q，R とする．次の問いに答えよ．
投げるのをやめるものとする．このときに，出発点から P が進んだ距離がちょうど n である確
率を an とする．また，bn = an+1 ¡ an とおく．次の問いに答えよ．
(1) b を a を用いて表せ．
(2) 直線 m の方程式，および，点 Q，点 R の x 座標を a を用いて表せ．
1
のとき，放物線 C1 と直線 m で囲まれた部分の面積 S を求めよ．
(3) a =
4
（大阪市立大学 2013 ）
(1) a1 ; a2 ; a3 を求めよ．
(2) an+2 を an+1 ; an を用いて表せ．
(3) bn+1 を bn を用いて表せ．
(4) bn ; an を求めよ．
2
f(x) = 4x2 + 2x + 4，g(x) = x2 ¡ x + 1 とするとき，次の問いに答えよ．
（大阪市立大学 2013 ）
(1) すべての実数 x に対して f(x) > 0，g(x) > 0 が成り立つことを示せ．
5
(2) 不等式
loga
t を正の定数とする．次の問いに答えよ．
(1) 正の実数 x に対して定義された関数 g(x) = ex x¡t について，g(x) の最小値を t を用いて表せ．
f(x)
< loga (2a + 1)
g(x)
(2) すべての正の実数 x に対して ex > xt が成り立つための必要十分条件は，t < e であることを
示せ．
がすべての実数 x に対して成り立つような a の値の範囲を求めよ．ただし a > 0，a Ë 1 とする．
（大阪市立大学 2012 ）
（大阪市立大学 2013 ）
3
¡
!
¡! ¡
!
¡!
¡! ¡!
5
である三角形 OAB に対し， a = OA， b = OB とおく．
OA = 4，OB = 5，OA ¢ OB =
2
次の問いに答えよ．
6
三角形 ABC の頂点 A，B，C は反時計回りに並んでいるものとする．点 P はいずれかの頂点の
位置にあり，1 枚の硬貨を 1 回投げるごとに，表が出れば時計回りに隣の頂点へ，裏が出れば反
時計回りに隣の頂点へ，移動するものとする．点 P は最初，頂点 A の位置にあったとする．硬
(1) 辺 AB の長さを求めよ．
¡!
(2) ÎAOB の二等分線と辺 AB の交点を P，ÎOAB の二等分線と辺 OB の交点を Q とする．OP，
¡! ¡
! ¡
!
OQ を a ， b を用いて表せ．
¡
! ¡
! ¡
!
(3) 三角形 OAB の内心を I とする．OI を a ， b を用いて表せ．
（大阪市立大学 2013 ）
貨を n 回投げたとき，点 P が頂点 A の位置に戻る確率を an で表す．次の問いに答えよ．
(1) n = 2 に対し an を an¡1 を用いて表せ．
(2) an を求めよ．
（大阪市立大学 2012 ）
7
0 5 x 5 2¼ の範囲で二つの曲線 y = sin x と y = k cos x を考える．ただし，k > 0 とする．
この二つの曲線の交点の x 座標を ®; ¯ (0 5 ® < ¯ 5 2¼) とし，® 5 x 5 ¯ の範囲でこの二つ
の曲線に囲まれた図形の面積を S とする．次の問いに答えよ．
(1) k と ¯ を ® を用いて表せ．
(2) S を k を用いて表せ．
(3) S = 4 のとき，® 5 x 5 µ の範囲でこの二つの曲線に囲まれた図形の面積が 2 となるような µ
の値を求めよ．
（大阪市立大学 2012 ）

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