(1) F(t) (2)

1
0 以上の実数 t に対し，F(t) =
Z
1
0
x2 ¡ t2 dx とする．次の問いに答えよ．
2
実数 µ に対し，座標空間の 2 点 A(cos µ; sin µ; 0)，B(0; sin 2µ; cos 2µ)
を考える．次の問いに答えよ．
(1) F(t) を t を用いて表せ．
(2) t = 0 において，関数 F(t) が最小値をとるときの t の値を求めよ．
（大阪市立大学 2012 ）
(1) 点 A，B と原点 O の 3 点は同一直線上にないことを示せ．
(2) 三角形 OAB の面積 S を sin µ を用いて表せ．
(3) µ が実数全体を動くとき，(2) で求めた S の最大値と最小値を求めよ．
（大阪市立大学 2012 ）
3
三角形 ABC の頂点 A，B，C は反時計回りに並んでいるものとする．点 P は
4
xy 平面において，x 軸の x < 0 である部分を C1 ，x 軸の x > 1 である
いずれかの頂点の位置にあり，1 枚の硬貨を 1 回投げるごとに，表が出れば
部分を C2 とする．また，2 点 (0; ¡1); (1; ¡1) を結ぶ線分を K とする．
時計回りに隣の頂点へ，裏が出れば反時計回りに隣の頂点へ，移動するもの
y > 0 をみたす点 (x; y) からは，C1 と C2 が障害となり，C1 と C2 の間を
とする．点 P は最初，頂点 A の位置にあったとする．硬貨を n 回投げたと
通してしか，K は見えないものとする．点 (s; 1) から見える K の部分の
き，点 P が頂点 A の位置へ戻る確率を an で表す．次の問いに答えよ．
長さを f(s)，点 (2; t) (t > 0) から見える K の部分の長さを g(t) とおく．
(1) n = 2 に対し an を an¡1 を用いて表せ．
ただし，K がまったく見えないとき，または，K の 1 点のみが見えるとき，
(2) an を求めよ．
f(s); g(t) の値は 0 とする．次の問いに答えよ．
（大阪市立大学 2012 ）
(1) f(s) を求めよ．また，s が実数全体を動くとき，関数 f(s) のグラフを描け．
(2) g(t) を求めよ．また，t が正の実数全体を動くとき，関数 g(t) のグラフを
描け．
（大阪市立大学 2012 ）
5
座標平面において，原点 O を中心とする半径 1 の円を C とし，点 P(p; q)
は p2 + q2 > 1 をみたすものとする．P から C へ接線をひき，その接点を
T(s; t) とする．P を中心とし T を通る円を D として，D は点 A(a; 0) を
通るものとする．次の問いに答えよ．
(1) (a ¡ p)2 = p2 ¡ 1 であることを示せ．
(2) 0 < a < 1 のとき p > 1 であることを示し，a を p を用いて表せ．
（大阪市立大学 2011 ）
6
座標空間を運動する 3 点 A，B，C の時刻 t における座標をそれぞれ (t; 0; t)，
p
p
p
( 2t; 1 ¡ 2t; 2(1 ¡ t))，(¡t; ¡ 2t; t) とする．原点を O と記すとき，
1
次の問いに答えよ．ただし，0 < t <
とする．
2
¡! ¡! ¡! ¡!
(1) OA ? OC; OB ? OC を示せ．
(2) 4ABC の面積 S(t) は t(1 ¡ 2t) であることを示せ．
1
における最大値を求めよ．
(3) 四面体 OABC の体積 V(t) の 0 < t <
2
（大阪市立大学 2011 ）
7
s; t を実数とし，座標平面上の 4 点 A(¡1; 0)，B(1; 0)，P(0; t)，Q(s; t)
を考える．次の問いに答えよ．
C
1 + t2 + s
(1) 不等式 (1 + s)2 + t2 = B
が成り立つことを示せ．
1 + t2
(2) 不等式 PA + PB 5 QA + QB が成り立つことを示せ．
（大阪市立大学 2011 ）
8
N; a; b は正の整数とする．箱の中に赤玉が a 個，白玉が b 個入ってい
る．箱から無作為に 1 個の玉を取り出し，色を記録して箱に戻す．この操
作を繰り返し，同じ色の玉が 2 回続けて出るか，または取り出す回数が
2N + 2 になったら終了する．n 回取り出して終わる確率を P(n) とし，
a
b
p=
; q=
; r = pq とおく．次の問いに答えよ．
a+b
a+b
(1) P(2j); P(2j + 1) (j = 1; 2; Ý; N) および P(2N + 2) を r を用いて
表せ．
(2) 偶数回取り出して終わる確率 Q =
N+1
P
j=1
なることを示せ．
P(2j) について，Q >
1 ¡ 2r
と
1¡r
（大阪市立大学 2011 ）
9
正の実数からなる 2 つの数列 fan g と fbn g は，n = 3 について
10 実数 r に対し，n 5 r < n + 1 となる整数 n を [ r ] と表すことにする．正
の整数 m について，f(m) = [ m ¡ log2 (m + 1) ] とおく．次の問いに答
C
an¡1 + an¡2
; bn = bn¡1 bn¡2
an =
2
えよ．
(1) m + 1 = 2s となる整数 s があれば，f(m + 1) = f(m) となることを示せ．
をみたすものとする．次の問いに答えよ．
(1) fan g の階差数列を fcn g とすると，fcn g は等比数列になることを示し，そ
の公比を求めよ．
(2) m + 1 = 2s となる整数 s がなければ，f(m + 1) = f(m) + 1 となること
を示せ．
（大阪市立大学 2010 ）
(2) n = 3 について an を a1 ; a2 ; n を用いて表せ．
(3) b1 = 1; b2 = 2 のとき，n = 3 について log2 bn を n を用いて表せ．
（大阪市立大学 2010 ）
11 確率 p で表が出るコインが 2 枚ある．それらを A，B とする．X さんは表が
12 a; b を正の実数とし，座標平面上の放物線 C : y = ax2 + b を考える．t; s
2 回出るまでコイン A を投げ続け，Y さんは表が 3 回出るまでコイン B を投
は正の実数とし，点 P(t; at2 +b) における C の接線を `P ，点 Q(s; as2 +b)
げ続ける．次の問いに答えよ．
における C の接線を `Q で表す．`P は原点を通っているとする．次の問いに
(1) A の裏がちょうど k 回出る確率 ak を p と k を用いて表せ．
答えよ．
(2) B の裏がちょうど k 回出る確率 bk を p と k を用いて表せ．
(1) `P の傾きが 1 未満となるための必要十分条件を，a と b を用いて表せ．
(3) A の裏が出る回数と B の裏が出る回数の和が 3 である確率 c を p を用いて
(2) `P の傾きは 1 未満とし，`P と x 軸がなす鋭角を µ と表す．Q を `Q と x 軸
表せ
（大阪市立大学 2010 ）
のなす鋭角が 2µ になるようにとるとき，`Q の傾きを a と b を用いて表せ．
1
をみたすとき，`P の傾きは 1 未満であることを示せ．
(3) a; b が a + b =
2
1
(4) a; b は a + b =
をみたすものとし，Q を (2) のようにとる．`Q の傾き
2
が最大になるような a; b を求めよ．
（大阪市立大学 2010 ）
13 実数 t に対して，放物線 y = x2 + 1 の点 A(t; t2 + 1) における接線を `1 と
し，また点 B(t + 1; (t + 1)2 + 1) における接線を `2 とする．`1 と `2 の交
点を P とするとき，次の問いに答えよ．
(1) `1 と `2 の方程式および P の座標を求めよ．
14 数列 fan g; fbn g は，
n(n + 1)
bn = an + 2an¡1 + 3an¡2 + Ý + na1
2
(n = 1; 2; 3; Ý)
という関係式を満たしているとする．このとき，次の問いに答えよ．
(2) この放物線と `1 ; `2 で囲まれる部分の面積は t によらないことを示せ．
(3) AB2 + 2PA2 + PB2 が最小になるような t の値を求めよ．
（大阪市立大学 2009 ）
(1) n は 2 以上の自然数とする．このとき，
n
P
k=1
ak を n; bn ; bn¡1 を用いて表せ．
(2) fbn g が初項 b1 = p，公差 q の等差数列であるとき，an を n; p; q を用い
て表せ．
（大阪市立大学 2009 ）
15 xy 平面の原点を O とする．xy 平面上の O と異なる点 P に対し，直線 OP 上
の点 Q を，次の条件 (a)，(b) を満たすようにとる．
16 n は 0 または自然数とする．
「右」と書かれたカードを 1 枚，
「左」と書かれた
カードを 1 枚，無地のカードを n 枚用意する．数直線上で点 P は原点 O を
¡!
(a) OP ¢ OQ = 4
出発点とし，これら n + 2 枚のカードの中から無作為に 1 枚引き，そのカー
ドが「右」のカードであれば右へ 1 だけ移動し，
「左」のカードであれば左へ
(b) Q は，O に関して P と同じ側にある．
点 P が直線 x = 1 の上を動くとき，点 Q の軌跡を求めて，図示せよ．
1 だけ移動することとし，無地のカードであればそのまま動かないこととす
る．ただし，カードは，1 回引くたびに元に戻すこととする．このとき，次
（大阪市立大学 2009 ）
の問いに答えよ．
(1) カードを 2 回引いた時点で，点 P が原点にある確率を求めよ．
(2) (1) の確率が最小となる n を求めよ．
(3) カードを 4 回引いた時点で，点 P が原点にある確率を求めよ．
（大阪市立大学 2009 ）

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