(1) a - SUUGAKU.JP

年番号
1
y2
x2
t¡2
+
= 1 上を動くとき，
の最大値を求めよ．ま
8
2
s¡4
た，最大値を与える s; t を求めよ．
平面上の点 P(s; t) が楕円 C :
（学習院大学 2016 ）
4
氏名
p
y2
x2
b > 0，a = 2 3b とし，原点を O とする座標平面上の楕円 2 + 2 = 1 を E とする．楕円
a
b
E 上の点 P(x; y) の媒介変数表示は x = a cos µ，y = b sin µ (0 5 µ < 2¼) で与えられる．
次の問いに答えよ．
y2
x2
+
=1
a2
b2
の表す領域内にある円を C とする．円 C の半径を r(µ) とするとき，C の中心を µ と r(µ) を用
(1) 点 P で楕円 E と共通の接線をもつ円を考える．このような円のうち，不等式
2
y2
x2
+
= 1 の焦点を F，F0 とする．ただし，F の x 座標は正である．正の実数
9
5
m に対し，2 直線 y = mx，y = ¡mx を漸近線にもち，2 点 F，F0 を焦点とする双曲線を C2
楕円 C1 :
とする．第 1 象限にある C1 と C2 の交点を P とする．このとき，以下の問いに答えよ．
(1) C2 の方程式を m を用いて表せ．
(2) 線分 FP および線分 F0 P の長さを m を用いて表せ．
(3) ÎF0 PF = 60± となる m の値を求めよ．
(2) 2d = 11b とし，4 つの頂点が (d; d)，(¡d; d)，(¡d; ¡d)，(d; ¡d) である正方形 F を
考える．点 P が楕円 E 上を動くとき，(1) の円 C の中心は正方形 F の周上を動くとする．この
¼
とき，0 5 µ 5
に対して，C の半径 r(µ) を求めよ．
2
p
¼
5 5
(3) (2) の r(µ) の 0 5 µ 5
における最大値は
b であることを示せ．
2
2
（秋田大学 2016 ）
（大阪府立大学 2016 ）
3
いて表せ．
次の問いに答えよ．
x2
+ y2 = 1 を x 軸方向に a，y 軸方向に b だけ平行移動して
4
得られる楕円が y 軸と直線 y = x に接するような a; b を求めよ．
p
(2) 1 辺の長さが n の正 n 角形 A1 A2 ÝAn における三角形 A1 A2 A3 の面積を Sn とする．このと
(1) a; b を正の実数とする．楕円
き lim Sn を求めよ．
n!1
1
x2 と曲線 y = log x + b がただ 1 つ
2a2
の共有点 P をもつとき，P の座標および b を a を用いて表せ．
Z2
t¡x
(4) 1 5 x 5 2 とする．関数 f(x) =
dt を最小にする x の値を求めよ．
1
t2
(3) a; b は実数で a > 0 を満たすとする．放物線 y =
（愛媛大学 2016 ）
5
点 O を原点とし，x 軸，y 軸，z 軸を座標軸とする座標空間において，3 点 A(1; 0; 0)，
B(2; 0; 0)，C(1; 0; 1) がある．点 A を中心とする xy 平面上の半径 1 の円周上に点 P を
¼
3
<µ<
¼ とする．また，直線 CP と yz
とり，図のように µ = ÎBAP とおく．ただし，
2
2
平面の交点を Q とおく．このとき，次の問に答えよ．
7
座標平面において楕円
y2
x2
+
= 1 を C とする．このとき，以下の問いに答えなさい．
16
9
(1) C に接する傾き m の直線の方程式をすべて求めなさい．
(2) すべての辺が C に接する長方形の 1 辺の傾きが m であるとする．この長方形の面積 S(m) を
求めなさい．
(3) m がすべての実数を動くとき，(2) で求めた S(m) の最大値を求めなさい．
（首都大学東京 2015 ）
8
座標平面において，極方程式 r = 2 cos µ で表される曲線を C とし，C 上において極座標が
B
¼
;，(2; 0) である点をそれぞれ A，B とする．また，A，B を通る直線を ` とし，A を
# 2;
4
中心とし，線分 AB を半径にもつ円を D とする．
(1) 曲線 C は直交座標において点 (
(1) 点 P の座標を µ を用いて表せ．
(2) 点 Q の座標を µ を用いて表せ．
¼
3
(3) µ の値が
<µ<
¼ の範囲で変化するとき，yz 平面における点 Q の軌跡の方程式を求め，
2
2
その概形を図示せよ．
;
ア
(2) 直線 ` の極方程式は r cos %µ ¡
¼
エ
D
(3) 円 D の極方程式は r =
カ
キ
) を中心とし，半径が
D
==
オ
である．
イ
cos %µ ¡
¼
ク
ウ
の円を表す．
= である．
（金沢工業大学 2015 ）
（佐賀大学 2015 ）
6
p
3 3
; y1 < が第 1 象限にある．点 P における曲線
曲線 C :
= 36 (x > 0) 上の点 P $
2
C の接線を ` とする．
4x2
+ 9y2
9
y2
= 1 を C とし，点 P(®; ¯) を ® > 0，¯ > 0 を満たす C 上の点と
9
する．点 P における C の接線 ` と x 軸，y 軸との交点をそれぞれ Q，R とおく．
座標平面上の楕円 x2 +
(1) y1 の値を求めなさい．
(1) ` の方程式を ®; ¯ を用いて表せ．
(2) 接線 ` の方程式を求めなさい．
(2) 線分 QR の長さの 2 乗を ® を用いて表せ．
(3) 接線 ` と x 軸との交点の x 座標を求めなさい．
(3) 線分 QR の長さの最小値を求めよ．
(4) 曲線 C，接線 `，x 軸で囲まれた部分の面積 S を求めなさい．
（群馬大学 2015 ）
（大分大学 2015 ）
10 1 つの円が定直線に接しながらすべることなく回転するとき，円周上の定点 P のえがく軌跡をサ
イクロイドという．
上の図を参考に，以下の設問に答えよ．
(1) 円 C を半径 1 の円，定直線を x 軸とし，円 C が x 軸に原点 O で接するとき，定点 P が O の位
置にあったとする．円 C が角 µ だけ回転したとき，円 C の中心の座標を求めよ．
(2) 円 C が角 µ だけ回転したときの点 P の位置を (x; y) とするとき，x; y をそれぞれ µ を使っ
て表せ．
(3) 0 5 µ 5 2¼ において，(2) で与えられる点 P の軌跡（サイクロイド）と x 軸とで囲まれた図形
の面積を求めよ．
（奈良教育大学 2015 ）

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