f(x) = 2 sinx + B6 sin 2x Z (2) 区間 0 区間 0

1
関数
B
f(x) = 2 sin x + 6 sin 2x
について，以下の問いに答えよ．
Z
(1) 導関数 f0 (x) および不定積分
f(x) dx を求めよ．ただし，積分定数は省略してもよい．
(2) 区間 0 < x < ¼ において f(x) = 0 となる x の値を ® とする．このとき，cos ® と cos 2® の値を求めよ．
(3) 区間 0 < x < ¼ において f0 (x) = 0 となる x の値を ¯; ° (¯ < °) とする．このとき，cos ¯ と cos °
の値を求めよ．
(4) 区間 0 5 x 5 ¼ における f(x) の最大値を求めよ．
(5) 曲線 y = f(x) (0 5 x 5 ¼) と x 軸で囲まれた 2 つの部分の面積の和 S を求めよ．
（電気通信大学 2016 ）
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等比数列 fan g と等差数列 fbn g を次の通りとする．
n¡3
1
an = $ p <
2
;
bn =
3¼(n ¡ 1)
4
(n = 1; 2; 3; Ý)
これらを用いて，座標平面上の点 Pn を
Pn (an cos bn ; an sin bn ) (n = 1; 2; 3; Ý)
で定める．このとき，以下の問いに答えよ．
(1) 点 P4 が線分 P1 P2 の中点であることを示せ．
(2) 線分 Pn Pn+1 の長さ ln を n の式で表せ．
n
P
(3) 極限値 L = lim
lk を求めよ．
n!1 k=1
(4) 座標平面上の曲線 C が媒介変数 t と定数 ®; ¯ を用いて，
x = 2®t+¯ cos t;
y = 2®t+¯ sin t
3¼
で点 P2 を通るとき，®; ¯ の値を求めよ．
4
(5) (4) で求めた ®; ¯ の値に対し，曲線 C がすべての点 Pn (n = 1; 2; 3; Ý) を通ることを示せ．
と表されるとする．曲線 C が t = 0 で点 P1 を通り，t =
（電気通信大学 2016 ）
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座標空間に 3 点 A(¡1; ¡1; 2)，B(1; 1; 2)，C(1; ¡1; ¡2) をとる．線分 AB の中点を M とし，原点
O を中心として 3 点 A，B，C を通る球面を S とするとき，以下の問いに答えよ．
¡! ¡!
(1) ベクトル OM，CM をそれぞれ成分で表せ．
(2) ÎAMC の大きさ µ を 0 5 µ 5 ¼ の範囲で求めよ．
(3) 三角形 ABC の面積を求めよ．
(4) 原点 O から三角形 ABC に垂線 OH を下ろす．線分 OH の長さを求めよ．
(5) 点 P が球面 S 上を動くとき，四面体 ABCP の体積の最大値を求めよ．
（電気通信大学 2016 ）
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関数
f(x) =
log x
p
x
(x > 0)
に対して，曲線 C : y = f(x) を考える．以下の問いに答えよ．ただし，log x は e を底とする自然対数を
表す．
(1) 導関数 f0 (x) を求めよ．さらに，f(x) の最大値とそのときの x の値 x0 を求めよ．
(2) 曲線 C，x 軸および直線 x = e で囲まれた図形を D とする．D の面積 S を求めよ．
(3) 図形 D を x 軸のまわりに 1 回転させてできる立体の体積 V を求めよ．
(4) 曲線 C 上の点 (t; f(t)) における接線 ` を考える．t > x0 のとき，接線 ` が x 軸，y 軸と交わる点をそ
れぞれ P，Q とする．原点を O として，三角形 OPQ の面積 g(t) を t の式で表せ．
g(t)
(5) 極限値 lim p
を求めよ．
t!1
t log t
（電気通信大学 2016 ）
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