材料力学演習 2016 課題⑧：第 2 回確認テスト

材料力学演習 2016 課題⑧：第 2 回確認テスト
１．【不静定問題】
図⑧-1 に示すように，断面形状は円形で，直径が 3d0 から d 0 まで連続的に変化する長さ l の棒が剛体壁
に挟まれ，この棒の左端から l / 2 の位置 Bに左向き荷重 3P が負荷されている。以下の問に答えよ。ただし，
ヤング率は E とする。
(1) A 点，C 点からの反力をそれぞれ RA ， R C として，フリーボディダイアグラムを描け。また，力の
つり合い式を示せ。
(2) 反力 RA ， R C を用いて，AB 間，BC 間の伸び  A B ，  B C を求めよ。
(3) 反力 RA ， R C を求めよ。
(4) AB 間，BC 間のそれぞれの応力
 A B ，  B C を P を用いて表し，
最大応力が生じる位置とその大
きさを求めよ。
(5)
C’
l
A
B
l/2
C
P  500 kN ， l 10 m のとき，この
棒を安全に使うための C 点の直
3P
3d0 d0
d
径 d 0 を求めよ。ただし，安全率を
S  3とせよ。また，棒の材質は低
x
C’
炭素鋼であり，ヤング率
E  206 GPa ，引張及び圧縮に
対する基準強さは  B  330 MPa
C’-C’断面
図⑧-1 剛体壁に挟まれた直径が変化する丸棒
とする。
２．【不静定問題】
図⑧-2 に示すように，高さ 2l の棒 2 本と高さ l の棒 1 本で剛体板を支え，剛体板には圧縮荷重 P が負荷さ
れている。以下の問に答えよ。ただし，ヤング率 E ，断面積
A は 3 本の棒ともに同じである。
(1) 各棒に作用する荷重を左からそれぞれ PA ， PB ， PC の
引張荷重と仮定し，剛体板に関するフリーボディダイア
P
グラムを描け。
2a
(2) 力のつり合い式とモーメントのつり合い式を示せ。モー
A
メントのつり合い式は，どの点回りかも示せ。
B
(3) 各棒のそれぞれの伸び  A ，  B ，  C を PA ， PB ， PC を
用いて表し，板 ABC が剛体であることから，伸び  A ，
 B ，  C の間に成立する関係を示せ。
a
C
l
2l
E, A
(4) 各棒に作用する荷重 PA ， PB ， PC を求めよ。
(5)
A  50 mm 2 ， l  10 m のとき，安全率を S  3 として安
全に負荷できる最大圧縮荷重 Pm ax を求めよ。ただし，
棒は低炭素鋼で，ヤング率は E  206 GPa ，圧縮に対
する基準強さを  B  330 MPa とする。
図⑧-2 非対称に 3 本の棒で支えられた
圧縮荷重が負荷された剛体板
３．【物体力（自重）】
図⑧-3 に示すように，断面積 A ，長さ l の真直ぐ棒が剛体の天井から吊り下げられ下端に引張荷重が
負荷されている。ただし，丁度真ん中から上下 AB 間，BC 間のそれぞれの密度  ，ヤング率 E が異
なるとする。また，天井から下向きに x 座標を取るとする。自重を考慮して，以下の問に答えよ。なお，重
力加速度は g  9.801 m /s 2 とする。
(1) フリーボディダイアグラムを描き，力のつり合い式を示せ。
(2) AB 間の任意の位置 x の仮想断面の内力 Q1 ( x ) と BC 間の任
A
意の位置 x の仮想断面の内力 Q 2 ( x ) を求めよ。

l/2
(3) 最大応力が生じる位置とその大きさを求めよ。
E1
l
(4) 全体の変形量を求めよ。
B

(5) 断面積 A  25 cm ，長さ l  2 m とする。また，上部はアルミニ
2
E2
ウム，下部は低炭素鋼とし，密度，ヤング率はそれぞれ
 1  2 .7 1  1 0 k g /m
3
， E1  69 GPa ，  2  7.86  10 kg/m
3
3
C
x
A
3
E 2  206 GPa である。安全率を S  3とし，アルミニウムと低炭
P
素鋼の基準強さをそれぞれ  B1  167 MPa ，  B 2  330 M Pa と
図⑧-3 2 種の材料から成る真直ぐ
する。安全に負荷できる設計最大荷重 Pm ax を求めよ。
棒の自重の考慮
４．【物体力（遠心力）】
図⑧-4 に示すような直径 dの丸棒とその丸棒に内接する正方形断面棒から成る長さ 6a の段付き棒が角速
度  で回転している。この場合の物体力としての遠心力を考える。OA 間，AB 間で区間を分け，それぞれの物
体力を q1 ( x ) dx ， q 2 ( x ) dx で表し，
x
x の位置のそれぞれの区間の内力 Q1 ( x )
Q1 ( x )  Q1 (0)   q1 ( ) d 
0
(4.1)
， Q 2 ( x ) は次式で表されると考える。
x
Q2 ( x )  Q2 ( a )   q2 ( ) d 
(4.2)
a
上記の式を元に，以下の問に答えよ。ただし，密度  ，ヤング率 E とせよ。
(1) 式(4.2)について，AB 間の q 2 を求め， x  3a の境界条件から Q 2 ( a ) を求めよ。
(2) 式(4.1)について，OA 間の q 1 を求め， x  a の仮想断面に働く力の条件から Q 1 (0 ) を求めよ。
(3) 全体の伸び を求めよ。

(4) 回転数 N  600 rpm ，長さ a  25 cm ，直径
d  5 cm の時，全体の伸び を求めよ。材質は
A
O
B
低炭素鋼であり，ヤング率 E  206 GPa ，密度
  7 .8 6  1 0 3 k g /m 3 とする。
d
a
(5) 同じ材質，長さで，低炭素鋼の引張強さを
 B  330 MPa とする。安全に回転させるには，1
分間に何回転までできるか rpm の単位で求めよ。
O0断面
0
6a
2a
x
なお，引張強さを基準強さとし，安全係数は
S  12 とする。
図⑧-4 回転する段付き棒

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