(2) j - SUUGAKU.JP

1
三角形 OAB において，頂点 A，B におけるそれぞれの外角の二等分線の交点を C とする．
¡! ¡
! ¡! ¡
!
OA = a ，OB = b とするとき，次の問いに答えよ．
(1) 点 P が ÎAOB の二等分線上にあるとき，
3
® を実数とする．2 つの関数 f(x) = e¡x (sin x ¡ cos x) と g(x) = ®e¡x について，次の問い
に答えよ．
Z
f(x) dx = ¡e¡x sin x + C であることを示せ．ただし，C は積分定数である．
(1)
(2) すべての x = 0 について f(x) 5 g(x) が成り立つような ® の値の最小値を求めよ．
¡
!
¡
!
¡!
a
b
OP = t & ¡
! + ¡
! >
jaj
jbj
(3) ® を (2) で求めた最小値とする．曲線 y = f(x) (x = 0) と曲線 y = g(x) (x = 0) との共有
点の x 座標を小さい方から順に a0 ; a1 ; a2 ; Ý とし，n が自然数であるとき，
となる実数 t が存在することを示せ．
¡
!
¡
!
¡
! ¡
!
¡! ¡
! ¡
!
(2) j a j = 7，j b j = 5， a ¢ b = 5 のとき，OC を a ， b を用いて表せ．
Sn =
（静岡大学 2014 ）
Z
an
an¡1
Ug(x) ¡
f(x) + f(x)
m dx
2
とする．このとき，Sn を求めよ．
(4) (3) で求めた Sn について，無限級数
1
P
n=1
Sn の和を求めよ．
（静岡大学 2014 ）
2
1
を満たす実数とする．次のように数列 fan g を帰納的に定義する．a1 = 0 と
6
し，第 n 項 an を用いた関数
pを 0 < p <
4
AB = AC = 8 である二等辺三角形 ABC がある．点 P は辺 BC 上にあり，ÎBAP = µ，
ÎPAC = 2µ，cos µ =
7
であるとする．このとき，次の問いに答えよ．
8
(1) BC の長さを求めよ．
fn (x) = 2x3 ¡ 3px2 + 6an x ¡ 1
(2) BP : PC を求めよ．
が極大値と極小値をもつならば，第 n + 1 項 an+1 を fn (x) の極大値と極小値の和により定め
(3) AP の長さを求めよ．
る．そうでないならば，an+1 = 0 と定める．このとき，次の問いに答えよ．
(1) f1 (x) が極大値と極小値をもつことを示し，a2 を p を用いて表せ．
(2) k を自然数とする．関数 fk (x) が極大値と極小値をもつならば，関数 fk+1 (x) も極大値と極
小値をもつことを示せ．
（静岡大学 2014 ）
5
n を 3 以上の自然数とし，k を 4 以上の自然数とする．1 から n までの番号の札が 1 枚ずつ計 n
枚ある．この中から 1 枚の札を引き，番号を記録してからもとに戻す操作をする．この試行を k
回くり返す．i 回目（ 1 5 i 5 k ）に引いた札の番号を Xi とするとき，次の問いに答えよ．
(3) an+1 と an の関係式を p を用いて表せ．
(1) X1 ; X2 ; Ý; Xk がすべて異なる番号である確率を求めよ．
(4) 一般項 an を p を用いて表せ．
（静岡大学 2014 ）
(2) X1 ; X2 ; Ý; Xk のうち，ちょうど k ¡ 1 個が同じ番号である確率を求めよ．
(3) 自然数 l が 2 5 l 5 k ¡ 2 を満たすとき，X1 ; X2 ; Ý; Xk のうち，ちょうど l 個が同じ番号
で，残りの k ¡ l 個がすべて異なる番号である確率を求めよ．
（静岡大学 2014 ）
6
a を定数とする．2 次関数 f(x) は等式
2
f(x) = 6(a + 1)x ¡ 12x
Z
1
0
f(t) dt + 5a ¡ 2
を満たすとする．このとき，2 次関数 f(x) と 3 次関数 g(x) = ¡4x3 + f(x) について，次の
問いに答えよ．
Z1
(1) 定積分
f(t) dt を a を用いて表せ．
0
(2) 3 次関数 g(x) の増減を調べ，極値があればその極値を求めよ．
(3) 3 次方程式 g(x) = 0 が異なる 3 つの実数解をもつとき，定数 a の値の範囲を求めよ．
（静岡大学 2014 ）

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