一回目0408.ppt

2016.4.8
微分・ベクトル解析 (1)
講師：幹浩文（A314)
TA：西方良太Ｍ1 （A305）
A１04（10：50~12：20）【金】
https://www.wakayama-u.ac.jp/~hjs/bibun_bekutorukaiseki -2016/
演習： A203（13:10~14：40）【金】
1
連絡先
１．教員：幹浩文Ａ３１４
e-mail [email protected]
Tel
073-457-8196
2. TA : 西方良太（Ｍ1） A305
e-mail [email protected]
３．演習担当教員：最田裕介 A408
e-mail [email protected]
Tel
073-457-8184
2
「微分・ベクトル解析」の評価
試験の成績により評価
参考
１）出席状況
２）授業中の取り組み・積極性や学習状況
３）毎回レポートの提出状況とレポート成績
４）テスト成績
3
2016年度 [微分・ベクトル解析]
レポート提出場所
システム工学部Ａ棟3階の
学科事務室前レポートＢＯＸにいれてください
期限：月曜日１３:00まで（時間厳守）
（ＢＯＸ番号：Ｃ－１）
4
約束
１）
２）
３）
４）
５）
飲食をしない
私語をしない
授業中に、本教科以外のほかのことをやらない
授業中の出入れは原則禁止
特別の理由がない限り、
授業開始１５分後の入室は遠慮してください
6
教科書：
すっきりわかる微分方程式とベクトル解析
（皆本晃弥著近代科学社） ISBN978-4-7649-1049-2
参考書：
１．数理ベクトル解析（付録微分方程式）
（吉本武史著学術図書出版社）ISBN978-4-7806-0115-2
２．常微分方程式（矢嶋信男著岩波書店） ISBN4-00-007774-0
３．ベクトル解析（戸田盛和著岩波書店） ISBN4-00-007773-2
４．なっとくする微分方程式（小寺平治講談社）ISBN4-06-154521-3
５．なっとくするベクトル（小野寺嘉孝講談社）ISBN4-06-154533-7
7
構成科目間の関係
構成科目間の関係
古典力学
微分方程式
ベクトル解析
流体力学
電磁気学
電磁波工学
電気回路
電子回路
………………….
微分・ベクトル解析
科目概要
「微分方程式とベクトル解析」に関する基礎と応用について解説する
専門科目の理論を理解するため不可欠となる数学の基礎的な知識
位置づけ
2年後期以降の力学関連科目や電磁気学などを学ぶうえで
欠かせない数学の基礎
12
「微分・ベクトル解析」の到達目標
微分方程式：
★ 微分方程式によるモデル化と方程式の解法を理解
★ １階微分方程式と２階微分方程式の基本的応用問題が解ける
ベクトル解析：
★ 内積・外積などベクトルの基本演算
★ スカラー場とベクトル場の微分 → grad・div・rot
★ ベクトルの微積分、線積分と面積分（勾配・発散・回転）
★ グリーンの定理・ガウスの定理・ストークスの定理が理解でき、
応用問題が解けることを到達目標とする。
13
スケジュール
１．イントロダクション（数学の基礎準備・解説）
4/8
２．ベクトルとスカラー（基本演算と内積・外積）
4/15
３．ベクトルの微分と積分
4/22 (来週4/29 ：祝日)
４．スカラー場とベクトル場の微分（grad勾配）
5/6
５．スカラー場とベクトル場の微分（div発散）
5/13
６．スカラー場とベクトル場の微分（rot回転） 5/20
７．曲面と曲線
5/27
８．スカラー場とベクトル場の積分（線積分） 6/3
９．スカラー場とベクトル場の積分（面積分） 6/10
10．積分公式（グリーンの定理） 6/17 (来週6/24 授業休止日：学生大会）
11．積分公式（ガウスの定理） 7/1
12．積分公式（ストークスの定理） 7/8
13. 微分方程式（１階微分方程式）
7/15
14. 微分方程式（２階微分方程式）
7/22
15. まとめと演習 7/29
8/2（火）~8/8（月）：テスト期間、 (8/5)期末テスト日（予定）
14
微分方程式・ベクトル解析
𝑥 2 + 4𝑥 + 3 = 0,
2𝑥 + 3𝑦 = 3
𝑥+𝑦 =2
代数方程式
算用数字の代りに文字記号で表わされた変数
𝑑2 𝑥
𝑑𝑡 2
𝑑𝑥
+2
𝑑𝑡
+ 3𝑥 = 𝑠𝑖𝑛𝜔𝑡 ,
𝑑𝑥
+𝑦 =0
𝑑𝑡
𝑑𝑦
−𝑥 =0
𝑑𝑡
未知関数：𝑥 𝑡 , 𝑦 𝑡
微分方程式
ベクトル解析：
ベクトル場を扱う数学の一分野。
普通は三次元ベクトルを対象とし，和，差，積を使った演算
のほかに，微分，積分などを含む。
物理学では，流体力学や電磁気学の数学的基礎になって
いる。
(New)
スカラー場：
空間の領域 D の各点 P に対して実数 ϕ(P) が対応して
いるとき，
3 変数関数 ϕ(P) を D の上でのスカラー場 (scalar
ﬁeld) という
ベクトル場：
空間の領域 D の各点 P に対してベクトル F(P) が対応して
いるとき，
3 変数ベクトル関数 F(P) を D の上でのベクトル場 (vector
ﬁeld) という
ベクトルの復習
１．ベクトル
２．スカラー
ベクトル(vector): 方向・向き・大きさ
スカラー：大きさは持つが方向はもたない量
ベクトル：
方向と大きさは、特定の座標系にはまったく関係しない。
（ベクトルが、ある特定の点で定義された量を表すということはあるが、
一般にベクトルに対してその位置は必ずしも決まっていない）
ベクトル加法の交換則








A B  B  A


A B  C ; A  B  C
C
物理法則は、ベクトルを用いれば座標軸の選び方によらない形に表現される
19
ベクトルの和
−𝑨
𝑩−𝑨
𝑪=𝑨+𝑩
𝑪=𝑨+𝑩
−𝑩
𝑨−𝑩
ベクトルのスカラー倍
𝑃79
（𝑃80 証明）
ベクトル
• 位置の幾何学表現
３次元の位置を表す
z
直角座標(x,y,z)
P(x1,y1,z1)
極座標 (r,θ,φ)
r1
円柱座標(r,φ,z)
r=OP：位置ベクトル
r  x i  y j  zk
Q(x2,y2,z2)
r2
０
y
x
Pxy
or r  ( x, y , z )
大きさ　r  x 2  y 2  z 2
𝒓 = 𝑥𝒊 + 𝑦𝒋 + 𝑧𝒌
𝑜𝑟 𝒓(𝑥, 𝑦, 𝑧)
24
運動学
物体の位置が時間とともに変わる状態を「数学的」に
表現する学問＝運動学
力学の法則＝運動の法則
z
速度＝位置の変化の時間割合
P(x,y,z)

 dr

v
r : 位置ベクトル
dt
r1
０
y
直交座標系で考えると、
位置ベクトル自体がx,y,zの成分に分けられるから、

y  y
 x  x
v  lim 
i
j
t  t
 t  t
x  x 
y  y


  lim
i   lim
t  t 
t  t


Q(x’,y’,z’)
r2
x
Pxy
z  z 
k
t  t

z  z


 j   lim
t  t


 dx 
 dy 
 dz 
 dx dy dz 

,
,
i  
j
k  

dt
dt 
 dt 
 dt 
 dt 
 dt

k

26
速度の時間変化は？
• 速度ベクトルが時間とともにいかに変わるか？→加速度α
 dv
  x
 dt

  dv y
i  
  dt
  dv z
 j  
  dt

k

d 2x
d2y
d 2z
 2 i  2 j  2 k   x i   y j   z k  ( x ,  y ,  z )
dt
dt
dt
何が速度の時間変化を生じるのか？→力
F  m
27
常微分
𝑦=
𝑑𝑦
= 3𝑥 2 − 3𝑎2
𝑑𝑥
偏微分
全微分
𝐼𝐹: 𝑓(𝑥 𝑡 , 𝑦 𝑡 )
𝑑𝑓 𝑑𝑓 𝑑𝑥 𝑑𝑓 𝑑𝑦
=
+
𝑑𝑡 𝑑𝑥 𝑑𝑡 𝑑𝑦 𝑑𝑡
常微分
𝑦=
𝑑𝑦
= 3𝑥 2 − 3𝑎2
𝑑𝑥
偏微分
𝜕𝑓
= 2𝑥 + 2𝑦(𝑥𝑦 + 5)
𝜕𝑥
𝜕𝑓
= 2𝑦 + 2𝑥(𝑥𝑦 + 5)
𝜕𝑦
全微分
𝜕𝑓
𝜕𝑓
𝑑𝑓 =
𝑑𝑥 +
𝑑𝑦
𝜕𝑥
𝜕𝑦
2階偏微分係数
𝜕𝑓
= 6𝑥𝑦
𝜕𝑥
𝜕2𝑓
𝜕𝑓
= 3𝑥 2 − 3𝑦 2
𝜕𝑦
𝜕2𝑓
𝜕𝑥 2
𝜕𝑦 2
= 6𝑦
𝜕2𝑓
= 6𝑥
𝜕𝑥𝜕𝑦
= −6𝑦
𝜕2𝑓
= 6𝑥
𝜕𝑦𝜕𝑥
𝜕𝑓
= 2𝑥 + 2𝑦(𝑥𝑦 + 5)
𝜕𝑥
𝜕2𝑓
2
=
2
+
2𝑦
𝜕𝑥 2
𝜕2𝑓
= 4𝑥𝑦 + 10
𝜕𝑥𝜕𝑦
𝜕𝑓
= 2𝑦 + 2𝑥(𝑥𝑦 + 5)
𝜕𝑦
𝜕2𝑓
2
=
2
+
2𝑥
𝜕𝑦 2
𝜕2𝑓
= 4𝑥𝑦 + 10
𝜕𝑦𝜕𝑥
また、
𝜕2𝑓
𝜕𝑧 2
𝜕3𝑓
𝜕𝑥𝜕𝑦𝜕𝑧
を求めよ。
注：
𝑓 = 𝑥𝑦 とする。
解答
例：
𝜕2𝑓
𝜕𝑧 2
𝜕3𝑓
𝜕𝑥𝜕𝑦𝜕𝑧
𝜕𝑓
𝜕𝑓
𝜕𝑓
𝑑𝑓 =
𝑑𝑥 +
𝑑𝑦 +
𝑑𝑧 = 2𝑥𝑦𝑑𝑥 + 𝑥 2 − 𝑧 2 𝑑𝑦 − 2𝑦𝑧𝑑𝑧
𝜕𝑥
𝜕𝑦
𝜕𝑧
𝜕𝑓
= 2𝑥𝑦
𝜕𝑥
𝜕2𝑓
= 2𝑦
𝜕𝑥 2
𝜕𝑓
= 𝑥2 − 𝑧2
𝜕𝑦
𝜕2𝑓
=0
𝜕𝑦 2
𝜕𝑓
= −2𝑦𝑧
𝜕𝑧
𝜕2𝑓
= −2𝑦
𝜕𝑧 2
𝜕2𝑓
= 2𝑥
𝜕𝑥𝜕𝑦
𝜕3𝑓
=0
𝜕𝑥𝜕𝑦𝜕𝑧
注：
𝑑𝑓 𝑑𝑓 𝑑𝑥 𝑑𝑓 𝑑𝑦
=
+
𝑑𝑡 𝑑𝑥 𝑑𝑡 𝑑𝑦 𝑑𝑡
解答
例：
𝑑𝑓 𝑑𝑓 𝑑𝑥 𝑑𝑓 𝑑𝑦
=
+
𝑑𝜃 𝑑𝑥 𝑑𝜃 𝑑𝑦 𝑑𝜃
𝜕𝑓
= 𝑦,
𝜕𝑥
𝜕𝑓
𝜕𝑦
= 𝑥,
𝑓 = 𝑥𝑦 とする。
𝜕𝑥
= −𝑎𝑠𝑖𝑛𝜃
𝜕𝜃
𝜕𝑦
= 𝑎𝑐𝑜𝑠𝜃
𝜕𝜃
𝑑𝑓 𝑑𝑓 𝑑𝑥 𝑑𝑓 𝑑𝑦
=
+
= −𝑎𝑦𝑠𝑖𝑛𝜃 + 𝑎𝑥𝑐𝑜𝑠𝜃 = 𝑎(𝑥𝑐𝑜𝑠𝜃 − 𝑦𝑠𝑖𝑛𝜃)
𝑑𝜃 𝑑𝑥 𝑑𝜃 𝑑𝑦 𝑑𝜃
本日はここまで
37

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