2016.06.03 微分・ベクトル解析 (8) 講師：幹 浩文（A314) TA：西方良太 Ｍ1 （A305） A１03（10：50~12：20） 【金】 https://www.wakayama-u.ac.jp/~hjs/bibun_bekutorukaiseki -2016/ 演習： A203（13:10~14：40） 【金】 1 スケジュール １．イントロダクション（数学の基礎準備・解説） 4/8 第4章 P72~100 ２．ベクトルとスカラー（基本演算と内積・外積） 4/15 ３．ベクトルの微分と積分 4/22 (来週4/29 ： 祝日) 第5章 P101~117 ４．スカラー場とベクトル場の微分（grad勾配） 5/6 ５．スカラー場とベクトル場の微分（div発散） 5/13 第7章 P145~176 ６．スカラー場とベクトル場の微分（rot回転） 5/20 ７．曲面と曲線 5/27 第6章 P119~144 ８．スカラー場とベクトル場の積分（線・面積積分） 6/3 第8章 P177~201 ９．小テスト（6章と８章の内容）6/10 10．積分公式（グリーンの定理） 6/17 (来週6/24 授業休止日：学生大 会） 第9章 P203~239 11．積分公式（ガウスの定理） 7/1 12．積分公式（ストークスの定理） 7/8 13. 微分方程式（１階微分方程式） 7/15 第1~2章 P2~23, P25~53 14. 微分方程式（２階微分方程式） 7/22 15. まとめと演習 7/29 8/2（火）~8/8（月）：テスト期間、 (8/5)期末テスト日（予定） 2 2016.05.27（7回目）のアンケート結果への解答 𝑟𝑜𝑡 𝜑𝑨 = 𝛻𝜑 × 𝑨 + 𝜑𝛻 × 𝑨が難しい。𝜑𝛻はどう計算するか。 𝑟𝑜𝑡 𝜑𝑨 = 𝛻 × (𝜑𝑨) 𝛻𝜑 × 𝑨 + 𝜑𝛻 × 𝑨 = (𝑃169 定義7.12) 𝜕𝐴𝑦 𝜕𝜑 𝜕𝐴𝑧 𝜕𝜑 𝜕𝜑 𝜕𝐴𝑧 𝜕𝜑 𝜕𝐴𝑥 𝐴𝑧 + 𝜑 − 𝐴𝑦 + 𝜑 𝒊− 𝐴𝑧 + 𝜑 − 𝐴𝑥 + 𝜑 𝜕𝑦 𝜕𝑦 𝜕𝑧 𝜕𝑧 𝜕𝑥 𝜕𝑥 𝜕𝑧 𝜕𝑧 𝜕𝐴𝑦 𝜕𝜑 𝜕𝜑 𝜕𝐴𝑥 + 𝐴𝑦 + 𝜑 − 𝐴𝑥 + 𝜑 𝑲 𝜕𝑥 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑦 = 𝜕𝜑 𝜕𝜑 𝜕𝜑 𝜕𝜑 𝜕𝜑 𝜕𝜑 𝐴𝑧 − 𝐴𝑦 𝒊 − 𝐴𝑧 − 𝐴𝑥 𝒋 + 𝐴𝑦 − 𝐴 𝑲 𝜕𝑦 𝜕𝑧 𝜕𝑥 𝜕𝑧 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝑥 + 𝜑 𝜕𝐴𝑦 𝜕𝐴𝑥 𝜕𝐴𝑧 𝜕𝐴𝑦 𝜕𝐴𝑧 𝜕𝐴𝑥 − 𝒊−𝜑 − 𝒋+𝜑 − 𝑲 𝜕𝑦 𝜕𝑧 𝜕𝑥 𝜕𝑧 𝜕𝑥 𝜕𝑦 = 𝛻𝜑 × 𝑨 + 𝜑(𝛻 × 𝑨) 𝒋 𝜕 𝜕 𝜕 𝜑𝛻 = 𝜑(𝒊 +𝒋 +𝒌 ) 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧 𝛻𝜑 = = 𝜕 𝜕 𝜕 𝒊 +𝒋 +𝒌 𝜑 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧 𝜕𝜑 𝒊 𝜕𝑥 + 𝜕𝜑 𝒋 𝜕𝑦 + 𝜕𝜑 𝒌 𝜕𝑧 スカラー場とベクトル場の積分 ① 8.1.2 ベクトルの線積分 ④ 8.2.1 曲面の面積（2重積分） 8.2.2 スカラーの面積分 ③ 8.2.3 ベクトルの面積分 ⑤ 6章へ ② (8章：𝑝177) (8章：𝑝177) 𝜑(𝑥, 𝑦, 𝑧) (𝑝178) 𝑥 𝜑 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑥𝑦𝑧 = 𝑎𝑐𝑜𝑠𝑡 ・ 𝑎𝑠𝑖𝑛𝑡 ・ 𝑎𝑡 = 𝑦 𝑎3 𝑡 𝑛 𝑥 𝑛 𝑛 𝑥 𝑠𝑖𝑛𝑡 𝑎𝑥 𝑑𝑥 = − cos 𝑎𝑥 + 𝑎 𝑎 𝑧 𝑠𝑖𝑛𝑡 𝑐𝑜𝑠𝑡 = 1 3 𝑎 𝑡sin2t 2 𝑥 𝑛−1 cos(𝑎𝑥)𝑑𝑥 教科書 (𝑃179) 空間曲線 𝑧 (𝑃135) 𝑃1(𝑥, 𝑦, 𝑧) ・ ・ 𝑃2(𝑥 +△ 𝑥, 𝑦 +△ 𝑦, 𝑧 +△ 𝑧) 𝒓(𝑡) 𝒓(𝑡 +△ 𝑡) 𝑥 0 𝑦 𝒓(𝑥, 𝑦, 𝑧)= 𝑑𝒓 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑧 = , , , 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝒓 = 𝑑𝑡 𝑑𝑥 𝑑𝑡 2 𝑑𝑦 + 𝑑𝑡 2 𝑑𝑧 + 𝑑𝑡 2 𝝉= 𝑑𝒓 𝑑𝑡 𝑑𝒓 𝑑𝑡 (𝑃138) 𝑃𝑖−1 𝒓(𝑡𝑖 ) 𝒓(𝑡𝑖−1 ) 𝑂 𝑑𝒓 𝑑𝑠 = 𝑑𝑡 = 𝑑𝑡 𝑑𝑥 𝑑𝑡 2 𝑑𝑦 + 𝑑𝑡 2 𝑑𝑧 + 𝑑𝑡 2 𝑑𝑡 (𝑃179) (𝑃142) 𝑑𝒓 𝑑𝑠 = 𝑑𝑡 = 𝑑𝑡 𝑑𝑥 𝑑𝑡 2 𝑑𝑦 + 𝑑𝑡 2 𝑑𝑧 + 𝑑𝑡 2 𝑑𝑡 曲面の面積（p188） 𝑤 𝑆 𝑃(𝑢𝑖 , 𝑣𝑖 ) 𝑅 ∆𝑆𝑖 𝑄 𝑣𝑖 + ∆𝑣 𝑢𝑖 𝒓 𝑣𝑖 𝑢𝑖 + ∆𝑢 𝑣𝑖 𝑜 𝑣 𝑣𝑖 + ∆𝑣 𝑜 𝐷 𝑢𝑖 𝑢𝑖 + ∆𝑢 𝑃 𝑢 曲面の面積（p188） 𝑤 𝑆 𝑃(𝑢𝑖 , 𝑣𝑖 ) 𝑅 ∆𝑆𝑖 𝑄 𝑣𝑖 + ∆𝑣 𝑢𝑖 𝒓 𝑣𝑖 𝑢𝑖 + ∆𝑢 𝑣𝑖 𝑜 𝑣 𝑣𝑖 + ∆𝑣 𝑜 𝐷 𝑢𝑖 𝑢𝑖 + ∆𝑢 𝑃 𝑢 (𝑃188) (𝑃130 − 6.17) 𝜕𝒓 𝜕𝒓 単位法線ベクトル 𝒏 = × 𝜕𝑢 𝜕𝑣 𝜕𝒓 𝜕𝒓 × 𝜕𝑢 𝜕𝑣 (𝑃190) (8.10) (𝑃190) (𝑃188) 定理8.4によって： 表面積 𝑆 (𝑃190) (𝑃191) + + + + (𝑃191) 面積𝑆 (𝑃192) 𝑃189 式 8.8 より (𝑃192) 𝑤 𝑆 𝑃(𝑢𝑖 , 𝑣𝑖 ) 𝑅 ∆𝑆𝑖 𝑄 𝑣𝑖 + ∆𝑣 𝑢𝑖 ： 𝒓 𝑣𝑖 𝑢𝑖 + ∆𝑢 𝑣𝑖 𝑣 𝑣𝑖 + ∆𝑣 𝑜 𝐷 𝑢𝑖 曲面𝑆上で定義されたスカラー関数 𝑢𝑖 + ∆𝑢 𝑢 (8.11) 例題 (𝑃192) 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥𝑦 𝑥 = 𝑢𝑐𝑜𝑠𝑣, 𝑦 = 𝑢𝑠𝑖𝑛𝑣, 𝑧=𝑢 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥𝑦 = (𝑢𝑐𝑜𝑠𝑣)(𝑢𝑠𝑖𝑛𝑣) (8.11) を用いると (𝑃193) (𝑃193) (8.11) を用いて (𝑃194) 𝑧= 例8.6と同様に、 𝑥 2 + 𝑦 2 = 𝑔 𝑥, 𝑦 𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑔 𝑥, 𝑦 ) = 𝑥 2 + 𝑦 2 とすると、 𝑃189 式 8.8 より (8.11) 𝒊 𝒋 𝜕𝒓 𝜕𝒓 × = 1 0 𝜕𝑥 𝜕𝑦 0 1 𝒌 𝑔𝑥 = −𝑔𝑥 𝒊 − 𝑔𝑦 𝒋 + 𝒌 𝑔𝑦 （例8.6の結果を参考） 𝑧= 𝑥 2 + 𝑦 2 = 𝑔 𝑥, 𝑦 𝜕𝑔 𝑧𝑥 = 𝑔𝑥 = = 𝜕𝑥 𝑥 𝑥2 + 𝑦2 より 𝜕𝑔 𝑧𝑦 = 𝑔𝑦 = = 𝜕𝑦 𝑦 𝑥2 + 𝑦2 ヤコビアン 𝐽 の意味 (𝐽𝑎𝑐𝑜𝑏𝑖𝑎𝑛) 𝑥𝑦座標系を細かく四角に区切って、その四角の面積と 𝑓(𝑥, 𝑦)の値をかけたものを足し併せたものの極限をとること 𝑢𝑣座標系を細かく四角に区切って、その四角の面積と ℎ(𝑢, 𝑣)の値をかけたものを足し併せたものの極限をとること 𝐴 𝐵 𝐶 𝐷 𝐷 𝐶 𝑑𝑆 𝐵 𝐴 𝐷 𝐶 𝐴 𝑑𝑆 𝐵 𝐵 𝐶 𝐴 𝐷 𝒊 𝑑𝑺 = 𝐴𝐵 × 𝐴𝐶 = 𝐴𝐵𝑥 𝐴𝐶𝑥 = 𝜕𝑥 𝜕𝑢 𝜕𝑥 𝜕𝑣 𝜕𝑦 𝜕𝑢 𝜕𝑦 𝜕𝑣 𝒋 𝐴𝐵𝑦 𝐴𝐶𝑦 𝒊 𝒌 𝜕𝑥 𝐴𝐵𝑧 = 𝜕𝑢 𝑑𝑢 𝐴𝐶𝑧 𝜕𝑥 𝑑𝑣 𝜕𝑣 𝒋 𝜕𝑦 𝑑𝑢 𝜕𝑢 𝜕𝑦 𝑑𝑣 𝜕𝑣 𝒌 0 = 0 𝜕𝑥 𝑑𝑢 𝜕𝑢 𝜕𝑥 𝑑𝑣 𝜕𝑣 𝜕𝑦 𝑑𝑢 𝜕𝑢 𝜕𝑦 𝑑𝑣 𝜕𝑣 𝒌 (𝑃190) 𝑑𝑢𝑑𝑣𝒌 = 𝐽 𝑑𝑢𝑑𝑣𝒌 𝑑𝑺 = 𝒏𝑑𝑆 = 𝐽 𝑑𝑢𝑑𝑣𝒌 𝑑𝑆 = 𝐽 𝑑𝑢𝑑𝑣 𝑃189 式 8.8 より 𝑑𝑆 = 𝜕𝒓 𝜕𝑥 × 𝜕𝒓 𝜕𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦 = 𝑔𝑥 2 + 𝑔𝑦 2 + 1 𝑑𝑥𝑑𝑦 (𝑃182) (𝑃136) 𝑑𝒓 𝒓 = 𝑑𝑡 ′ (𝑃138) 弧長𝐴𝐵 𝑑𝒓 𝑑𝑠 𝑑𝒓 𝒕= = 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑠 𝑑𝑠 𝑑𝒓 = 𝑑𝑡 𝑑𝑡 (𝑃182) 定理𝟔. 𝟑 【P142~143】 𝒕= 𝑑𝒓 𝑑𝑡 𝑑𝒓 𝑑𝒓 𝑑𝑠 𝑑𝒓 = = 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑠 例題―1 ２ 本日はここまで 39
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