Blatt 2 - Institut fuer Mathematik - Hu

Humboldt-Universität zu Berlin, Institut für Mathematik
Mathematik für NaturwissenschaftlerInnen 2
Dr. Caroline Löbhard
Sommersemester 2016, Blatt 2: Ansatzmethode, Variation der Konstanten
V 2.1. Wir betrachten die lineare Differentialgleichung
y 00 (t) + 4y 0 (t) = −12t2 + 10t.
(?)
a) Bestimmen Sie das charakteristische Polynom der Differentialgleichung und dessen Nullstellen.
b) Bestimmen Sie die allgemeine Lösung der zugehörigen homogenen Differentialgleichung.
c) Berechnen Sie die Lösung des Anfangswertproblems (?) mit den Anfangswerten
2
y(0) = ,
3
y 0 (0) = −3.
V 2.2. Entscheiden Sie bei den folgenden Differentialgleichungen jeweils, ob man mit der Ansatzmethode aus Satz 1.11 eine partikuläre Lösung bestimmen kann. Geben Sie, falls möglich, den Ansatz
an.
a) y 00 (t) + 4y(t) = (t3 − 8)e2t ,
d) y (6) (t) − 3y (4) (t) + 3y 00 (t) − y(t) = 0,
b) y 00 (t)+4y(t) = (t+1) cos(2t)−(t4 +2) sin(2t),
e) y 00 (t) + 2y 0 (t) + 2y(t) = et cos(t),
c) y (6) (t) − 3y (4) (t) + 3y 00 (t) − y(t) = t7 et ,
f) y 00 (t) + 2y 0 (t) + 2y(t) = e−t cos(t) + et sin(t).
V 2.3. Bestimmen Sie die allgemeinen Lösungen der folgenden Differentialgleichungen mit der Ansatzmethode. Berechnen Sie, falls Anfangsbedingungen angegeben sind, die Lösungen der zugehörigen
Anfangswertprobleme,
a) y 00 (t) + 3y 0 (t) + 2y(t) = (1 − 4t)e−t ,
y(0) = 0,
y 0 (0) = 0,
b) y 00 (t) + 2y 0 (t) + 2y(t) = 2 + 2t − sin(t) − 2 cos(t).
V 2.4. Lösen Sie die folgenden Differentialgleichungen mittels Variation der Konstanten (Satz 1.15).
Berechnen Sie in a) auch die Lösung des zugehörigen Anfangswertproblems,
a) y 00 (t) + 4y 0 (t) = e−4t ,
b) y 00 (t) − 4y(t) =
y(0) = 0,
y 0 (0) = 1,
1
,
cosh(2t)
S 2.5. Lösen Sie die folgenden Differentialgleichungen mit der Ansatzmethode,
a) y 00 (t) − 4y(t) = 8 cos(2t),
b) y 00 (t) − 4y 0 (t) + 13y(t) = 13t2 − 8t + 15,
y(0) = 1,
c) y 00 (t) − 6y 0 (t) + 9y(t) = 2e3t ,
y 0 (0) = 3,
y(0) = 1,
y 0 (0) = 0,
S 2.6. Lösen Sie die folgenden Differentialgleichungen mittels Variation der Konstanten (Satz 1.15),
e3t
,
1 + et
t
00
0
t
b) y (t) − 3y (t) + 2y(t) = 2e cos
.
2
a) y 00 (t) − 6y 0 (t) + 8y(t) =
Informationen zur Vorlesung finden Sie unter www.math.hu-berlin.de/˜loebhard/mathematik 2
Abgabe der S-Aufgaben am 2.5.2016, V-Aufgaben vorzubereiten zur Woche ab 2.5.2016

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