解析学 I レポート問題 No.10 (2016.7.20 出題) プリントは http://www.math.sci.hiroshima-u.ac.jp/~takimoto/H28Kai1.html にも置いてあります. 以下の指示に従って,レポートを提出してください. • 裏面にある問題のうち,解けたものについてレポートにして提出してください. • 期限・提出場所は以下の通りとします. 期限:7 月 25 日(月) 16 時 20 分(〆切厳守) 提出場所:数学科事務室 (B709) レポート提出ボックス • ただし,7 月 24 日(日)1,2 時限に行う解析学 I の補講の時間に,レポートを滝本に 直接手渡しても構いません. • A4 の用紙に書き,2 枚以上になる場合は左上をホッチキス等でしっかり綴じてくださ い.表紙は付けなくて結構です.学生番号・氏名をお忘れなく. • 原則として,手書きのレポートのみ受理します. (特段の理由がある場合はその旨お知らせ下さい) • 解けなかった問題についても, 「このように考えてここまでわかったがその先がわから ない」といったことや, 「このように考えたが解くことができなかった」といったこと を書いてくれれば,内容に応じて評価します. • ただし,レポートの体をなさないもの,および他人のレポートをほぼ丸写ししたと思 われるものは(写したレポート,写されたレポート双方を)不提出扱いとします. • レポートは添削した後返却します. 問1 関数 h(x) = { 2x (x < 0) −3x (x ≥ 0) 論法を用いて)示せ. が R 上の連続関数であることを,定義に従って(ε-δ (h(x) が x = a で連続であることを,(i) a < 0, (ii) a = 0, (iii) a > 0 の 3 つに場合分け してそれぞれ考えよ) 注意. より一般的に,次の命題が成り立ちます. 命題. 関数 f (x) は区間 (−∞, b] 上で連続,g(x) は区間 [b, ∞) 上で連続であり,f (b) = g(b) であると仮定する.このとき, { f (x) (x ∈ (−∞, b]) h(x) = g(x) (x ∈ [b, ∞)) で定義された関数 h(x) は R 上で連続である. 問1 を示す代わりに上の命題を示しても構いません. (もちろん「定義に従って(ε-δ 論法を用 いて)」示して下さい1 ) 問2 次のそれぞれを満たす関数 f (x) の例を 1 つずつ挙げよ.理由も付けること. (1) 区間 [1, ∞) で連続な関数 f (x) で,最大値も最小値ももたないもの. (2) 区間 (0, 1] で連続な関数 f (x) で,最大値も最小値ももたないもの. (3) 区間 [−1, 1] で定義され,x = 0 を除き連続な関数 f (x) で,最大値も最小値ももた ないもの. 問3 f (x) は閉区間 [0, 1] 上で連続で,かつ任意の 0 ≤ x ≤ 1 に対して 0 ≤ f (x) ≤ 1 を 満たすと仮定する.このとき,x = f (x) となる x ∈ [0, 1] が存在することを証明せよ. (ヒント:g(x) = f (x) − x とおき,中間値の定理を使う) 上の命題では区間が (−∞, b], [b, ∞) となっていますが,[a, b], [b, c] などとなっていても証明は同様です (この場合は結論が「[a, c] 上で連続」となります). 1
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