解析学 I レポート問題 No.10

解析学 I レポート問題 No.10
（2016.7.20 出題）
プリントは http://www.math.sci.hiroshima-u.ac.jp/~takimoto/H28Kai1.html にも置いてあります．
以下の指示に従って，レポートを提出してください．
• 裏面にある問題のうち，解けたものについてレポートにして提出してください．
• 期限・提出場所は以下の通りとします．
期限：7 月 25 日（月） 16 時 20 分（〆切厳守）
提出場所：数学科事務室 (B709) レポート提出ボックス
• ただし，7 月 24 日（日）1,2 時限に行う解析学 I の補講の時間に，レポートを滝本に
直接手渡しても構いません．
• A4 の用紙に書き，2 枚以上になる場合は左上をホッチキス等でしっかり綴じてくださ
い．表紙は付けなくて結構です．学生番号・氏名をお忘れなく．
• 原則として，手書きのレポートのみ受理します．
（特段の理由がある場合はその旨お知らせ下さい）
• 解けなかった問題についても，
「このように考えてここまでわかったがその先がわから
ない」といったことや，
「このように考えたが解くことができなかった」といったこと
を書いてくれれば，内容に応じて評価します．
• ただし，レポートの体をなさないもの，および他人のレポートをほぼ丸写ししたと思
われるものは（写したレポート，写されたレポート双方を）不提出扱いとします．
• レポートは添削した後返却します．
問１関数 h(x) =
{
2x
(x < 0)
−3x (x ≥ 0)
論法を用いて）示せ．
が R 上の連続関数であることを，定義に従って（ε-δ
（h(x) が x = a で連続であることを，(i) a < 0, (ii) a = 0, (iii) a > 0 の 3 つに場合分け
してそれぞれ考えよ）
注意．より一般的に，次の命題が成り立ちます．
命題．関数 f (x) は区間 (−∞, b] 上で連続，g(x) は区間 [b, ∞) 上で連続であり，f (b) =
g(b) であると仮定する．このとき，
{
f (x) (x ∈ (−∞, b])
h(x) =
g(x) (x ∈ [b, ∞))
で定義された関数 h(x) は R 上で連続である．
問１を示す代わりに上の命題を示しても構いません．
（もちろん「定義に従って（ε-δ 論法を用
いて）」示して下さい1 ）
問２次のそれぞれを満たす関数 f (x) の例を 1 つずつ挙げよ．理由も付けること．
(1) 区間 [1, ∞) で連続な関数 f (x) で，最大値も最小値ももたないもの．
(2) 区間 (0, 1] で連続な関数 f (x) で，最大値も最小値ももたないもの．
(3) 区間 [−1, 1] で定義され，x = 0 を除き連続な関数 f (x) で，最大値も最小値ももた
ないもの．
問３ f (x) は閉区間 [0, 1] 上で連続で，かつ任意の 0 ≤ x ≤ 1 に対して 0 ≤ f (x) ≤ 1 を
満たすと仮定する．このとき，x = f (x) となる x ∈ [0, 1] が存在することを証明せよ．
（ヒント：g(x) = f (x) − x とおき，中間値の定理を使う）
上の命題では区間が (−∞, b], [b, ∞) となっていますが，[a, b], [b, c] などとなっていても証明は同様です
（この場合は結論が「[a, c] 上で連続」となります）．
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